Страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.19 Чугунная труба имеет длину 2 м и внешний диаметр 20 см. Толщина стенок трубы равна 2 см (рис. 14.6). Найдите вес трубы, если удельный вес чугуна примерно равен $7,5 \text{ г/см}^3$. Ответ дайте в килограммах (Примите $\pi \approx 3$).

Рис. 14.6

Для того чтобы найти вес чугунной трубы, необходимо вычислить ее объем и умножить его на удельный вес (плотность) чугуна. В первую очередь приведем все исходные данные к единой системе измерений (сантиметры и граммы), так как плотность дана в г/см³.

Длина трубы: $L = 2 \text{ м} = 2 \cdot 100 \text{ см} = 200 \text{ см}$.
Внешний диаметр трубы: $D = 20 \text{ см}$.
Толщина стенки трубы: $t = 2 \text{ см}$.
Удельный вес (плотность) чугуна: $\rho = 7,5 \text{ г/см}^3$.
Примем значение $\pi \approx 3$.

Труба представляет собой полый цилиндр. Объем материала, из которого она сделана ($V$), можно найти как разность объемов внешнего цилиндра и внутреннего полого пространства.

Сначала найдем внешний и внутренний радиусы трубы.
Внешний радиус $R$ равен половине внешнего диаметра: $R = \frac{D}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ см}$.
Внутренний радиус $r$ равен внешнему радиусу за вычетом толщины стенки: $r = R - t = 10 - 2 = 8 \text{ см}$.

Теперь вычислим объем материала трубы, используя формулу для объема полого цилиндра: $V = \pi L (R^2 - r^2)$.
Подставим известные значения в формулу: $V = 3 \cdot 200 \cdot (10^2 - 8^2) = 600 \cdot (100 - 64) = 600 \cdot 36 = 21600 \text{ см}^3$.

Зная объем и плотность материала, найдем вес (массу) трубы ($m$) по формуле $m = V \cdot \rho$:
$m = 21600 \text{ см}^3 \cdot 7,5 \text{ г/см}^3 = 162000 \text{ г}$.

В задаче требуется указать ответ в килограммах. Для этого переведем граммы в килограммы, зная, что $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$:
$m = \frac{162000}{1000} = 162 \text{ кг}$.

Ответ: 162 кг.

14.20. Найдите объем детали, изображенной на рисунке 14.7, составленной из двух равных частей цилиндров. (Примите $\pi \approx 3$).

Рис. 14.7

Для нахождения объема детали необходимо вычислить объем объединения двух одинаковых перпендикулярных цилиндров. Общий объем $V$ находится по принципу включений-исключений: он равен сумме объемов двух цилиндров ($V_{цил1}$ и $V_{цил2}$) за вычетом объема их пересечения ($V_{перес}$).

$V = V_{цил1} + V_{цил2} - V_{перес}$

1. Определение размеров цилиндров. Из рисунка видно, что деталь состоит из двух одинаковых частей цилиндров. Общая длина и высота каждого исходного цилиндра составляет 20 см. Длина прямой части до начала изгиба равна 10 см. Это означает, что радиус основания каждого цилиндра равен разнице между общей длиной и длиной прямой части: $r = 20 \text{ см} - 10 \text{ см} = 10 \text{ см}$. Длина (или высота) каждого полного цилиндра, из которых составлена деталь, равна $L = 20 \text{ см}$.

2. Вычисление объема одного цилиндра. Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi r^2 L$. По условию задачи принимаем значение $\pi \approx 3$.$V_{цил1} = V_{цил2} = 3 \cdot (10 \text{ см})^2 \cdot 20 \text{ см} = 3 \cdot 100 \text{ см}^2 \cdot 20 \text{ см} = 6000 \text{ см}^3$.Таким образом, объем каждого из двух полных цилиндров равен $6000 \text{ см}^3$.

3. Вычисление объема пересечения цилиндров. Область пересечения двух перпендикулярных цилиндров одинакового радиуса $r$ называется бицилиндром или телом Штейнмеца. Его объем вычисляется по формуле:$V_{перес} = \frac{16}{3} r^3$.Подставим в формулу значение радиуса $r = 10$ см:$V_{перес} = \frac{16}{3} \cdot (10 \text{ см})^3 = \frac{16}{3} \cdot 1000 \text{ см}^3 = \frac{16000}{3} \text{ см}^3$.

4. Вычисление общего объема детали. Теперь, используя формулу включений-исключений, найдем итоговый объем детали:$V = V_{цил1} + V_{цил2} - V_{перес} = 6000 \text{ см}^3 + 6000 \text{ см}^3 - \frac{16000}{3} \text{ см}^3$.$V = 12000 - \frac{16000}{3}$.Приведем к общему знаменателю:$V = \frac{12000 \cdot 3}{3} - \frac{16000}{3} = \frac{36000}{3} - \frac{16000}{3} = \frac{36000 - 16000}{3} = \frac{20000}{3} \text{ см}^3$.

Ответ: $\frac{20000}{3}$ см$^3$.

14.21. Повторите определения пирамиды и усеченной пирамиды.

Пирамида

Пирамида — это многогранник, одна из граней которого, называемая основанием, является произвольным многоугольником, а остальные грани, называемые боковыми гранями, — это треугольники, имеющие общую вершину. Эта общая вершина называется вершиной пирамиды. Рёбра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми рёбрами. Высотой пирамиды ($h$) называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания.

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого многоугольника. В правильной пирамиде все боковые рёбра равны, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой ($l$).

Основные формулы для пирамиды:
Объём: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$, где $P$ — периметр основания.
Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Ответ: Пирамида — это многогранник, состоящий из многоугольника (основания), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины), и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания.

Усеченная пирамида

Усечённая пирамида — это часть полной пирамиды, заключённая между её основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Усечённая пирамида имеет два основания: нижнее основание (основание исходной пирамиды) и верхнее основание (многоугольник, полученный в сечении). Основания усечённой пирамиды — подобные многоугольники. Боковые грани усечённой пирамиды — трапеции. Высотой усечённой пирамиды ($h$) называется расстояние между плоскостями её оснований.

Усечённая пирамида называется правильной, если она является частью правильной пирамиды. У правильной усечённой пирамиды основаниями являются правильные многоугольники, а боковые грани — равные равнобочные трапеции. Высота боковой грани (трапеции) правильной усечённой пирамиды называется её апофемой ($l$).

Основные формулы для усечённой пирамиды:
Объём: $V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$, где $S_1$ и $S_2$ — площади нижнего и верхнего оснований.
Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований.
Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок}$.

Ответ: Усечённая пирамида — это многогранник, гранями которого являются два многоугольника (основания), лежащие в параллельных плоскостях, и n четырёхугольников (боковые грани), где n — число сторон оснований.