Страница 81 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Выведите формулу объема правильной:

а) треугольной;

б) шестиугольной призмы, стороны основания которой равны $a$, а высота равна $h$.

Объем любой призмы можно найти по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы. Для вывода формул объема для конкретных правильных призм нам необходимо найти площадь их оснований.

а) В основании правильной треугольной призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$. Площадь равностороннего треугольника можно вычислить по формуле, использующей сторону и угол между сторонами ($S = \frac{1}{2}ab\sin C$):

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Теперь подставим полученную площадь основания в общую формулу объема призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot h$.

Ответ: $V = \frac{a^2h\sqrt{3}}{4}$.

б) В основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник со стороной $a$. Правильный шестиугольник можно разбить на шесть одинаковых равносторонних треугольников, каждый со стороной $a$.

Площадь одного такого треугольника, как мы выяснили в пункте а), равна $S_{треуг} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Следовательно, площадь основания призмы (правильного шестиугольника) равна сумме площадей шести таких треугольников:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{треуг} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Подставим эту площадь в формулу объема призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot h$.

Ответ: $V = \frac{3a^2h\sqrt{3}}{2}$.

Вопросы

1. Как формулируется принцип Кавальери?

2. Как вычисляется объем призмы?

1. Как формулируется принцип Кавальери?

Принцип Кавальери (или метод неделимых) — это утверждение в геометрии, которое позволяет вычислять объемы тел. Существует несколько формулировок, но наиболее распространенная для пространственных тел звучит следующим образом:

Если два тела могут быть расположены так, что их сечения, образованные любой плоскостью, параллельной некоторой фиксированной плоскости, имеют равные площади, то объемы этих тел равны.

Чтобы лучше понять этот принцип, можно представить стопку монет или колоду карт. Если сложить их ровно, получится прямой параллелепипед. Если же сдвинуть карты или монеты, форма стопки изменится, она станет наклонной, но ее высота и объем останутся прежними. Это происходит потому, что на любой высоте площадь сечения (площадь одной карты или монеты) не изменилась.

Принцип Кавальери является мощным инструментом для доказательства формул объемов различных геометрических тел, таких как пирамида, конус и шар, путем их сравнения с телами, объемы которых уже известны (например, с призмой или цилиндром).

Ответ: Если два тела можно разместить так, что в сечении любой плоскостью, параллельной некоторой заданной плоскости, получаются фигуры с равными площадями, то объемы этих тел равны.

2. Как вычисляется объем призмы?

Объем любой призмы, как прямой, так и наклонной, вычисляется как произведение площади ее основания на высоту.

Формула для вычисления объема призмы выглядит так:

$V = S_{осн} \cdot h$

где:

• $V$ – это объем призмы.
• $S_{осн}$ – это площадь основания призмы. Основанием может быть любой многоугольник (треугольник, четырехугольник, пятиугольник и т.д.), и для нахождения его площади используются соответствующие формулы планиметрии.
• $h$ – это высота призмы. Высота представляет собой перпендикулярное расстояние между плоскостями двух оснований.

Важно отметить, что для прямой призмы (у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям) высота $h$ равна длине бокового ребра. Для наклонной призмы высота будет меньше длины бокового ребра, и ее нужно находить как длину перпендикуляра, опущенного из любой точки одного основания на плоскость другого основания.

Ответ: Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

13.1. Основанием треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите объем данной призмы.

13.1. Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота призмы.

В основании данной призмы лежит прямоугольный треугольник. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Найдем площадь основания. Катеты треугольника равны $a = 3$ см и $b = 4$ см.

Площадь основания $S_{осн}$ равна:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = \frac{12}{2} \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2$.

Высота призмы по условию задачи равна $h = 10$ см.

Теперь вычислим объем призмы, подставив найденные значения в формулу:

$V = S_{осн} \cdot h = 6 \text{ см}^2 \cdot 10 \text{ см} = 60 \text{ см}^3$.

Ответ: 60 см³.

Найдите объем данной призмы.

13.2. Найдите объем правильной треугольной призмы, сторона основания которой 4 см и высота 5 см.

13.2. Объем призмы находится по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания призмы, а $H$ — ее высота.

Так как призма правильная треугольная, в ее основании лежит правильный (равносторонний) треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Согласно условию задачи, сторона основания $a = 4$ см, а высота призмы $H = 5$ см.

1. Найдем площадь основания призмы:
Подставим значение стороны $a = 4$ см в формулу площади равностороннего треугольника:
$S_{осн} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см².

2. Теперь найдем объем призмы, умножив площадь основания на высоту:
$V = S_{осн} \cdot H = 4\sqrt{3} \text{ см}^2 \cdot 5 \text{ см} = 20\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $20\sqrt{3}$ см³.

13.3. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 2 см, а боковые ребра равны 3 см.

Для нахождения объема правильной шестиугольной призмы используется формула $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Поскольку призма правильная, её основанием является правильный шестиугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Следовательно, высота призмы $h$ равна длине её бокового ребра.

Из условия задачи нам даны:

Сторона основания (правильного шестиугольника) $a = 2$ см.

Длина бокового ребра, которая является высотой призмы, $h = 3$ см.

Сначала вычислим площадь основания $S_{осн}$. Правильный шестиугольник можно разделить на шесть равных равносторонних треугольников, сторона каждого из которых равна стороне шестиугольника $a$.

Площадь равностороннего треугольника ($S_{\triangle}$) со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Подставим значение стороны $a = 2$ см:

$S_{\triangle} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см².

Площадь всего шестиугольного основания равна сумме площадей шести таких треугольников:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6\sqrt{3}$ см².

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем найти объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = 6\sqrt{3} \cdot 3 = 18\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $18\sqrt{3}$ см³.

13.4. Основанием четырехугольной призмы является квадрат со стороной 1 см. Боковое ребро равно 2 см и наклонено к плоскости основания под углом $60^\circ$. Найдите объем призмы.

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Сначала найдем площадь основания. Так как основанием является квадрат со стороной $a = 1$ см, его площадь равна:

$S_{осн} = a^2 = 1^2 = 1$ см².

Далее найдем высоту призмы $h$. Высота, боковое ребро $l$ и проекция бокового ребра на плоскость основания образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковое ребро $l = 2$ см является гипотенузой, а угол между боковым ребром и его проекцией (то есть угол наклона к плоскости основания) равен $60^\circ$. Высота $h$ является катетом, противолежащим этому углу. Следовательно, ее можно найти через синус угла:

$h = l \cdot \sin(60^\circ)$

Подставим известные значения:

$h = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем вычислить объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$ см³.

Ответ: $\sqrt{3}$ см³.

13.5. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 см и острым углом $60^\circ$. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол $60^\circ$ и равно 1 см. Найдите объем параллелепипеда.

Объем параллелепипеда находится по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

Найдем площадь основания

В основании параллелепипеда лежит ромб со стороной $a = 1$ см и острым углом $\alpha = 60^{\circ}$. Площадь ромба вычисляется по формуле $S = a^2 \cdot \sin(\alpha)$.

Подставим известные значения:

$S_{осн} = 1^2 \cdot \sin(60^{\circ}) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Найдем высоту параллелепипеда

Высота параллелепипеда $H$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины верхнего основания на плоскость нижнего. По условию, боковое ребро $L$ равно 1 см и образует с плоскостью основания угол $\beta = 60^{\circ}$.

Высоту можно найти из прямоугольного треугольника, где боковое ребро $L$ является гипотенузой, а высота $H$ — катетом, противолежащим углу $\beta$. Таким образом, $H = L \cdot \sin(\beta)$.

Подставим известные значения:

$H = 1 \cdot \sin(60^{\circ}) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Найдем объем параллелепипеда

Теперь, зная площадь основания и высоту, вычислим объем:

$V = S_{осн} \cdot H = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{3})^2}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} = 0.75$ см$^3$.

Ответ: $\frac{3}{4}$ см$^3$.

13.6. Найдите высоту правильной треугольной призмы, если сторона ее основания $20 \text{ см}$ и объем $4800 \text{ см}^3$.

Для нахождения высоты правильной треугольной призмы воспользуемся формулой объема призмы:$V = S_{осн} \cdot h$,где $V$ — объем призмы, $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Из этой формулы можно выразить высоту:$h = \frac{V}{S_{осн}}$.

В основании правильной треугольной призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

По условию задачи, сторона основания $a = 20$ см. Подставим это значение в формулу площади основания:$S_{осн} = \frac{20^2\sqrt{3}}{4} = \frac{400\sqrt{3}}{4} = 100\sqrt{3}$ см².

Теперь, зная объем призмы $V = 4800$ см³ и вычисленную площадь основания $S_{осн} = 100\sqrt{3}$ см², найдем высоту $h$:$h = \frac{4800}{100\sqrt{3}} = \frac{48}{\sqrt{3}}$.

Для упрощения ответа избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$h = \frac{48 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3}$ см.

Ответ: $16\sqrt{3}$ см.