Страница 76 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.6. Во сколько раз уменьшится объем прямоугольного параллелепипеда, если все его ребра уменьшить в два раза?

Объем прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a$, $b$ и $c$ — это его измерения (длина, ширина и высота).

Пусть первоначальный объем параллелепипеда равен $V_1 = a \cdot b \cdot c$.

По условию задачи, все его ребра уменьшили в два раза. Следовательно, новые измерения параллелепипеда будут: $a_2 = \frac{a}{2}$, $b_2 = \frac{b}{2}$, $c_2 = \frac{c}{2}$.

Найдем новый объем $V_2$ с новыми измерениями:

$V_2 = a_2 \cdot b_2 \cdot c_2 = \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} \cdot \frac{c}{2} = \frac{a \cdot b \cdot c}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{a \cdot b \cdot c}{8}$

Чтобы определить, во сколько раз уменьшился объем, найдем отношение первоначального объема $V_1$ к новому объему $V_2$:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{a \cdot b \cdot c}{\frac{a \cdot b \cdot c}{8}} = (a \cdot b \cdot c) \cdot \frac{8}{a \cdot b \cdot c} = 8$

Таким образом, объем уменьшился в 8 раз.

Ответ: в 8 раз.

12.7 Как изменится объем прямоугольного параллелепипеда, если:

а) одно из его измерений увеличить в два раза;

б) если два его измерения уменьшить в три раза?

а) одно из его измерений увеличить в два раза;

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a, b, c$ – его измерения (длина, ширина и высота).
Пусть одно из измерений, например, длину $a$, увеличили в два раза. Новая длина станет $a_{новое} = 2a$. Остальные измерения, $b$ и $c$, остаются без изменений.
Найдем новый объем $V_{новое}$:
$V_{новое} = a_{новое} \cdot b \cdot c = (2a) \cdot b \cdot c = 2 \cdot (a \cdot b \cdot c) = 2V$.
Таким образом, новый объем в 2 раза больше первоначального.
Ответ: объем увеличится в два раза.

б) если два его измерения уменьшить в три раза?

Пусть два измерения, например, длину $a$ и ширину $b$, уменьшили в три раза. Новые измерения станут $a_{новое} = \frac{a}{3}$ и $b_{новое} = \frac{b}{3}$. Высота $c$ остается без изменений.
Найдем новый объем $V_{новое}$:
$V_{новое} = a_{новое} \cdot b_{новое} \cdot c = \frac{a}{3} \cdot \frac{b}{3} \cdot c = \frac{a \cdot b \cdot c}{3 \cdot 3} = \frac{a \cdot b \cdot c}{9} = \frac{V}{9}$.
Таким образом, новый объем в 9 раз меньше первоначального.
Ответ: объем уменьшится в девять раз.

12.8. Строительный кирпич весит 4 кг. Сколько граммов весит игрушечный кирпич из того же материала, все размеры которого в четыре раза меньше?

Вес (масса) объекта, изготовленного из однородного материала, прямо пропорционален его объему. Связь между массой $m$, плотностью $\rho$ и объемом $V$ выражается формулой $m = \rho \cdot V$.

Поскольку игрушечный кирпич сделан из того же материала, что и строительный, их плотности одинаковы. Следовательно, отношение их масс равно отношению их объемов:

$\frac{m_{игруш}}{m_{строит}} = \frac{V_{игруш}}{V_{строит}}$

Объем прямоугольного параллелепипеда (форму которого имеет кирпич) равен произведению его трех измерений: длины, ширины и высоты. Пусть размеры строительного кирпича равны $l$, $w$, $h$. Тогда его объем $V_{строит} = l \cdot w \cdot h$.

По условию, все размеры игрушечного кирпича в четыре раза меньше. Его размеры равны $\frac{l}{4}$, $\frac{w}{4}$, $\frac{h}{4}$.

Тогда объем игрушечного кирпича равен:

$V_{игруш} = \frac{l}{4} \cdot \frac{w}{4} \cdot \frac{h}{4} = \frac{l \cdot w \cdot h}{4^3} = \frac{V_{строит}}{64}$

Таким образом, объем игрушечного кирпича в 64 раза меньше объема строительного. Из-за одинаковой плотности его масса также будет в 64 раза меньше.

Масса строительного кирпича равна 4 кг.

Масса игрушечного кирпича равна:

$m_{игруш} = \frac{m_{строит}}{64} = \frac{4 \text{ кг}}{64} = \frac{1}{16}$ кг

Вопрос требует найти массу в граммах. В одном килограмме 1000 граммов.

$m_{игруш} = \frac{1}{16} \cdot 1000 \text{ г} = \frac{1000}{16} \text{ г} = 62,5$ г.

Ответ: 62,5 г.

12.9. Какова должна быть площадь кабинета высотой $3,5 \text{ м}$ для класса в $28$ человек, если на каждого ученика нужно $7,5 \text{ м}^3$ воздуха?

12.9. Для решения задачи сначала необходимо рассчитать общий объём воздуха, требуемый для всего класса. Затем, зная высоту кабинета, можно найти его площадь.

1. Вычислим общий необходимый объём воздуха ($V_{общ}$). В классе 28 человек, и на каждого требуется 7,5 м³ воздуха.

$V_{общ} = 28 \text{ человек} \times 7,5 \frac{\text{м³}}{\text{человек}} = 210 \text{ м³}$

2. Теперь найдём площадь кабинета ($S$). Объём помещения равен произведению его площади на высоту ($h$). Формула объёма: $V = S \times h$.

Мы знаем, что требуемый объём $V_{общ} = 210 \text{ м³}$, а высота кабинета $h = 3,5 \text{ м}$.

Выразим площадь из формулы:

$S = \frac{V_{общ}}{h}$

Подставим значения и произведём расчёт:

$S = \frac{210 \text{ м³}}{3,5 \text{ м}} = 60 \text{ м²}$

Таким образом, площадь кабинета должна быть 60 квадратных метров.

Ответ: 60 м².

12.10 Найдите объемы деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 12.2.

а)

б)

Рис. 12.2

а)

Объем данной детали можно найти, разбив ее на два прямоугольных параллелепипеда. Наиболее простой способ — это разделить деталь на нижнюю и верхнюю части.
1. Нижняя часть представляет собой прямоугольный параллелепипед с измерениями: длина 2, ширина 2 и высота 1. Найдем его объем $V_1$:
$V_1 = 2 \times 2 \times 1 = 4$.
2. Верхняя часть — это также прямоугольный параллелепипед. Его измерения: длина 1, ширина 2. Высота верхней части равна разности общей высоты детали и высоты нижней части: $2 - 1 = 1$. Найдем объем верхней части $V_2$:
$V_2 = 1 \times 2 \times 1 = 2$.
3. Общий объем детали равен сумме объемов ее частей:
$V = V_1 + V_2 = 4 + 2 = 6$.

Ответ: 6

б)

Данную деталь можно представить как конструкцию из трех горизонтальных слоев, уложенных друг на друга. Объем всей детали будет равен сумме объемов этих слоев.
1. Нижний слой — это прямоугольный параллелепипед с измерениями: длина 3, ширина 2 и высота 1. Его объем $V_{нижн}$:
$V_{нижн} = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
2. Средний слой лежит на нижнем. Его ширина равна 2, а высота — 1. Длину этого слоя можно определить по рисунку: она равна сумме длины верхнего слоя (1) и длины выступающей части средней ступени (1), что составляет $1 + 1 = 2$. Объем среднего слоя $V_{средн}$:
$V_{средн} = 2 \times 2 \times 1 = 4$.
3. Верхний слой имеет измерения: длина 1, ширина 2, высота 1. Его объем $V_{верхн}$:
$V_{верхн} = 1 \times 2 \times 1 = 2$.
4. Общий объем детали равен сумме объемов этих трех слоев:
$V = V_{нижн} + V_{средн} + V_{верхн} = 6 + 4 + 2 = 12$.
В качестве проверки можно разбить деталь на три вертикальных блока, стоящих рядом. Их общая ширина 2, длины по 1, а высоты 1, 2 и 3 соответственно.
$V = (1 \times 2 \times 1) + (1 \times 2 \times 2) + (1 \times 2 \times 3) = 2 + 4 + 6 = 12$.

Ответ: 12

12.11 Найдите объемы деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 12.3.

а) 3, 4, 4, 4, 1, 2, 1, 2, 2, $1/2$, 1

б) 4, 1, 4, 4, 4, 4, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1

Рис. 12.3

a) Объем данной детали можно вычислить как разность объемов двух прямоугольных параллелепипедов. Сначала найдем объем большого параллелепипеда, как если бы он был цельным, а затем вычтем из него объем вырезанной части.
1. Размеры большого параллелепипеда: ширина – 3, глубина – 4, высота – 4.
Его объем $V_{1}$ равен произведению этих измерений:
$V_{1} = 3 \times 4 \times 4 = 48$ кубических единиц.
2. Вырезанная часть (выемка) также является прямоугольным параллелепипедом. Ее размеры: ширина – 1, глубина – 4 (такая же, как у всей детали), высота – 2 (согласно рисунку, общая высота 4, а высота оставшейся части под выемкой равна 2, следовательно, высота самой выемки $4 - 2 = 2$).
Ее объем $V_{2}$ равен:
$V_{2} = 1 \times 4 \times 2 = 8$ кубических единиц.
3. Объем детали $V_{a}$ равен разности объемов $V_{1}$ и $V_{2}$:
$V_{a} = V_{1} - V_{2} = 48 - 8 = 40$ кубических единиц.
Ответ: 40

б) Объем этой детали можно найти, вычтя из объема внешнего большого параллелепипеда объем внутреннего пустого пространства (сквозного отверстия).
1. Внешний параллелепипед представляет собой куб, так как все его измерения (ширина, глубина и высота) равны 4.
Его объем $V_{внешний}$ равен:
$V_{внешний} = 4 \times 4 \times 4 = 64$ кубических единицы.
2. Внутреннее отверстие представляет собой прямоугольный параллелепипед, проходящий через всю высоту детали. Размеры его основания – 2 на 2, а высота равна высоте всей детали, то есть 4.
Объем этого отверстия $V_{внутренний}$ равен:
$V_{внутренний} = 2 \times 2 \times 4 = 16$ кубических единиц.
3. Объем детали $V_{б}$ равен разности объемов $V_{внешний}$ и $V_{внутренний}$:
$V_{б} = V_{внешний} - V_{внутренний} = 64 - 16 = 48$ кубических единиц.
Ответ: 48