Страница 71 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11.18. Дан единичный куб. Шар, радиус которого равен 1 см, имеет своим центром вершину этого куба (рис. 11.5). Найдите площадь части поверхности шара, содержащейся в кубе.

Рис. 11.5

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим центр шара в начало координат, точку $O(0, 0, 0)$. Поскольку центр шара совпадает с одной из вершин куба, мы можем направить ребра этого куба, выходящие из этой вершины, вдоль положительных направлений осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$.

По условию, куб является единичным, значит, длина его ребра равна 1. В выбранной системе координат куб занимает область пространства, определяемую неравенствами $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, $0 \le z \le 1$.

Шар имеет центр в начале координат и радиус $R = 1$ см. Уравнение поверхности этого шара (сферы) имеет вид: $x^2 + y^2 + z^2 = R^2 = 1^2 = 1$.

Нам нужно найти площадь части поверхности шара, которая находится внутри куба. Это означает, что для точек $(x, y, z)$ на поверхности шара должны выполняться условия, задающие куб: $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$ и $0 \le z \le 1$.

Рассмотрим любую точку $(x, y, z)$ на поверхности шара. Из уравнения $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ следует, что $x^2 \le 1$, $y^2 \le 1$ и $z^2 \le 1$. Это эквивалентно тому, что $-1 \le x \le 1$, $-1 \le y \le 1$ и $-1 \le z \le 1$. Таким образом, условия $x \le 1$, $y \le 1$ и $z \le 1$ выполняются для любой точки на сфере. Следовательно, единственными ограничивающими условиями для части сферы внутри куба остаются $x \ge 0$, $y \ge 0$ и $z \ge 0$.

Эти три условия ($x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$) определяют первый октант пространства. Таким образом, искомая часть поверхности шара — это та его часть, которая лежит в первом октанте.

Сфера симметрична относительно координатных плоскостей $Oxy$, $Oxz$ и $Oyz$. Эти плоскости делят всю поверхность шара на 8 равных по площади частей (октантов). Часть сферы внутри куба — это в точности один из этих восьми октантов.

Площадь всей поверхности шара вычисляется по формуле:

$S_{полн} = 4\pi R^2$

Подставив значение радиуса $R = 1$ см, получим:

$S_{полн} = 4\pi (1)^2 = 4\pi$ см².

Площадь части поверхности шара, содержащейся в кубе, составляет $\frac{1}{8}$ от полной площади поверхности шара:

$S_{куб} = \frac{1}{8} S_{полн} = \frac{1}{8} \cdot 4\pi = \frac{\pi}{2}$ см².

Ответ: $\frac{\pi}{2}$ см².

11.19 Дана правильная четырехугольная пирамида, стороны основания которой равны 2 см, а высота равна 1 см. Шар, радиус которого равен 1 см, имеет своим центром вершину этой пирамиды (рис. 11.6). Найдите площадь части поверхности шара, содержащейся в пирамиде.

Рис. 11.6

Пусть $SABCD$ — данная правильная четырехугольная пирамида, где $S$ — вершина, а $ABCD$ — квадратное основание. Центр основания — точка $O$. По условию, высота пирамиды $SO = 1$ см, а сторона основания $AB = 2$ см.

Шар имеет центр в вершине пирамиды $S$ и радиус $R = 1$ см. Часть поверхности шара, находящаяся внутри пирамиды, представляет собой сферический многоугольник (в данном случае, сферический четырехугольник). Эта фигура вырезана на поверхности шара плоскостями боковых граней пирамиды.

Площадь сферического многоугольника можно найти по обобщенной теореме Жирара. Площадь $A$ сферического $n$-угольника на сфере радиуса $R$ равна $A = (\sum \alpha_i - (n-2)\pi)R^2$, где $\sum \alpha_i$ — это сумма внутренних углов многоугольника в радианах.

В нашем случае $n=4$, а углами сферического четырехугольника являются двугранные углы при боковых ребрах пирамиды. Поскольку пирамида правильная, все четыре двугранных угла при боковых ребрах равны между собой. Обозначим величину этого угла как $\gamma$. Тогда формула для площади примет вид:

$A = (4\gamma - (4-2)\pi)R^2 = (4\gamma - 2\pi)R^2$.

Для нахождения двугранного угла $\gamma$ введем систему координат. Поместим вершину пирамиды $S$ (которая также является центром шара) в начало координат $(0, 0, 0)$. Так как высота пирамиды $SO=1$, плоскость основания $ABCD$ будет задана уравнением $z = -1$. Центр основания $O$ будет иметь координаты $(0, 0, -1)$.

Основание $ABCD$ — это квадрат со стороной 2, лежащий в плоскости $z=-1$ с центром в точке $O(0, 0, -1)$. Вершины квадрата будут иметь координаты: $A(1, -1, -1)$, $B(1, 1, -1)$, $C(-1, 1, -1)$ и $D(-1, -1, -1)$.

Найдем двугранный угол $\gamma$ между смежными боковыми гранями, например, между гранями $SBC$ и $SCD$. Этот угол равен углу между нормальными векторами к этим плоскостям.

Нормальный вектор к плоскости грани $SBC$ можно найти как векторное произведение векторов $\vec{SB}$ и $\vec{SC}$:
$\vec{SB} = B - S = (1, 1, -1)$
$\vec{SC} = C - S = (-1, 1, -1)$
$\vec{n}_1 = \vec{SB} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1 - (-1)) - \mathbf{j}(-1 - 1) + \mathbf{k}(1 - (-1)) = (0, 2, 2)$.

Аналогично найдем нормальный вектор к плоскости грани $SCD$ через векторы $\vec{SC}$ и $\vec{SD}$:
$\vec{SD} = D - S = (-1, -1, -1)$
$\vec{n}_2 = \vec{SC} \times \vec{SD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1 - 1) - \mathbf{j}(1 - 1) + \mathbf{k}(1 - (-1)) = (-2, 0, 2)$.

Для удобства вычислений мы можем использовать коллинеарные им векторы $\vec{n}_1' = (0, 1, 1)$ и $\vec{n}_2' = (-1, 0, 1)$. Найдем косинус угла $\theta$ между этими векторами:

$\cos\theta = \frac{\vec{n}_1' \cdot \vec{n}_2'}{|\vec{n}_1'| |\vec{n}_2'|} = \frac{(0)(-1) + (1)(0) + (1)(1)}{\sqrt{0^2+1^2+1^2} \cdot \sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, угол между векторами нормалей $\theta = \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$ радиан. Выбранные векторы нормалей направлены наружу из пирамиды, поэтому угол между ними является смежным с внутренним двугранным углом $\gamma$. Таким образом:

$\gamma = \pi - \theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Теперь мы можем вычислить искомую площадь части поверхности шара. Подставляем значение $\gamma = \frac{2\pi}{3}$ и радиус $R = 1$ см в формулу:

$A = (4\gamma - 2\pi)R^2 = (4 \cdot \frac{2\pi}{3} - 2\pi) \cdot 1^2 = (\frac{8\pi}{3} - \frac{6\pi}{3}) \cdot 1 = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$ см$^2$.

11.20. Повторите определения вписанных и описанных многоугольников.

Вписанный многоугольник

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Окружность при этом называется описанной около многоугольника. Около многоугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры ко всем его сторонам пересекаются в одной точке. Эта точка и будет центром описанной окружности.

Любой треугольник является вписанным, так как около него всегда можно описать окружность. Выпуклый четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Для четырёхугольника $ABCD$ это условие выглядит так: $\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ$.

Ответ: Вписанный многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.

Описанный многоугольник

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Окружность при этом называется вписанной в многоугольник. В многоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда биссектрисы всех его внутренних углов пересекаются в одной точке. Эта точка и будет центром вписанной окружности.

В любой треугольник всегда можно вписать окружность. Выпуклый четырёхугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. Это утверждение известно как теорема Пито. Для четырёхугольника со сторонами $a, b, c, d$ условие выглядит так: $a + c = b + d$.

Ответ: Описанный многоугольник — это многоугольник, все стороны которого касаются одной окружности.

1. Радиус основания цилиндра равен 3 см, образующая 8 см. Найдите диагональ осевого сечения:

A) 6 см;

B) 10 см;

C) 12 см;

D) 16 см.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, проходящий через ось цилиндра. Сторонами этого прямоугольника являются высота (или образующая) цилиндра и диаметр его основания.

Согласно условию задачи, нам даны:
Радиус основания $R = 3$ см.
Образующая, которая равна высоте цилиндра, $H = 8$ см.

1. Сначала найдем диаметр основания цилиндра $D$. Диаметр в два раза больше радиуса:
$D = 2 \cdot R = 2 \cdot 3 = 6$ см.

2. Таким образом, осевое сечение является прямоугольником со сторонами $H = 8$ см и $D = 6$ см.

3. Диагональ этого прямоугольника, обозначим ее $d$, можно найти с помощью теоремы Пифагора. В прямоугольном треугольнике, образованном двумя сторонами и диагональю прямоугольника, диагональ является гипотенузой, а стороны — катетами.
Формула теоремы Пифагора: $d^2 = H^2 + D^2$
Подставим наши значения:
$d^2 = 8^2 + 6^2$
$d^2 = 64 + 36$
$d^2 = 100$
$d = \sqrt{100} = 10$ см.

Следовательно, диагональ осевого сечения цилиндра равна 10 см. Этот результат соответствует варианту ответа B).

Ответ: B) 10 см.

2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, получающегося вращением прямоугольника, стороны которого равны 1 см и 2 см, вокруг прямой содержащей его большую сторону:
A) $2\pi \text{ см}^2$;
B) $3\pi \text{ см}^2$;
C) $4\pi \text{ см}^2$;
D) $6\pi \text{ см}^2$;

При вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон образуется цилиндр. По условию задачи, стороны прямоугольника равны 1 см и 2 см, а вращение происходит вокруг большей стороны.

Большая сторона прямоугольника, которая является осью вращения, становится высотой цилиндра $h$. Следовательно, $h = 2$ см.

Меньшая сторона прямоугольника при вращении образует окружность, которая является основанием цилиндра. Длина этой стороны становится радиусом основания $r$. Следовательно, $r = 1$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2 \pi r h$.

Подставим значения $r$ и $h$ в формулу:

$S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot 1 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 4\pi \text{ см}^2$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту C).

Ответ:$4\pi \text{ см}^2$.