Номер 11.19, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11.19 Дана правильная четырехугольная пирамида, стороны основания которой равны 2 см, а высота равна 1 см. Шар, радиус которого равен 1 см, имеет своим центром вершину этой пирамиды (рис. 11.6). Найдите площадь части поверхности шара, содержащейся в пирамиде.

Рис. 11.6

Пусть $SABCD$ — данная правильная четырехугольная пирамида, где $S$ — вершина, а $ABCD$ — квадратное основание. Центр основания — точка $O$. По условию, высота пирамиды $SO = 1$ см, а сторона основания $AB = 2$ см.

Шар имеет центр в вершине пирамиды $S$ и радиус $R = 1$ см. Часть поверхности шара, находящаяся внутри пирамиды, представляет собой сферический многоугольник (в данном случае, сферический четырехугольник). Эта фигура вырезана на поверхности шара плоскостями боковых граней пирамиды.

Площадь сферического многоугольника можно найти по обобщенной теореме Жирара. Площадь $A$ сферического $n$-угольника на сфере радиуса $R$ равна $A = (\sum \alpha_i - (n-2)\pi)R^2$, где $\sum \alpha_i$ — это сумма внутренних углов многоугольника в радианах.

В нашем случае $n=4$, а углами сферического четырехугольника являются двугранные углы при боковых ребрах пирамиды. Поскольку пирамида правильная, все четыре двугранных угла при боковых ребрах равны между собой. Обозначим величину этого угла как $\gamma$. Тогда формула для площади примет вид:

$A = (4\gamma - (4-2)\pi)R^2 = (4\gamma - 2\pi)R^2$.

Для нахождения двугранного угла $\gamma$ введем систему координат. Поместим вершину пирамиды $S$ (которая также является центром шара) в начало координат $(0, 0, 0)$. Так как высота пирамиды $SO=1$, плоскость основания $ABCD$ будет задана уравнением $z = -1$. Центр основания $O$ будет иметь координаты $(0, 0, -1)$.

Основание $ABCD$ — это квадрат со стороной 2, лежащий в плоскости $z=-1$ с центром в точке $O(0, 0, -1)$. Вершины квадрата будут иметь координаты: $A(1, -1, -1)$, $B(1, 1, -1)$, $C(-1, 1, -1)$ и $D(-1, -1, -1)$.

Найдем двугранный угол $\gamma$ между смежными боковыми гранями, например, между гранями $SBC$ и $SCD$. Этот угол равен углу между нормальными векторами к этим плоскостям.

Нормальный вектор к плоскости грани $SBC$ можно найти как векторное произведение векторов $\vec{SB}$ и $\vec{SC}$:
$\vec{SB} = B - S = (1, 1, -1)$
$\vec{SC} = C - S = (-1, 1, -1)$
$\vec{n}_1 = \vec{SB} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1 - (-1)) - \mathbf{j}(-1 - 1) + \mathbf{k}(1 - (-1)) = (0, 2, 2)$.

Аналогично найдем нормальный вектор к плоскости грани $SCD$ через векторы $\vec{SC}$ и $\vec{SD}$:
$\vec{SD} = D - S = (-1, -1, -1)$
$\vec{n}_2 = \vec{SC} \times \vec{SD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1 - 1) - \mathbf{j}(1 - 1) + \mathbf{k}(1 - (-1)) = (-2, 0, 2)$.

Для удобства вычислений мы можем использовать коллинеарные им векторы $\vec{n}_1' = (0, 1, 1)$ и $\vec{n}_2' = (-1, 0, 1)$. Найдем косинус угла $\theta$ между этими векторами:

$\cos\theta = \frac{\vec{n}_1' \cdot \vec{n}_2'}{|\vec{n}_1'| |\vec{n}_2'|} = \frac{(0)(-1) + (1)(0) + (1)(1)}{\sqrt{0^2+1^2+1^2} \cdot \sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, угол между векторами нормалей $\theta = \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$ радиан. Выбранные векторы нормалей направлены наружу из пирамиды, поэтому угол между ними является смежным с внутренним двугранным углом $\gamma$. Таким образом:

$\gamma = \pi - \theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Теперь мы можем вычислить искомую площадь части поверхности шара. Подставляем значение $\gamma = \frac{2\pi}{3}$ и радиус $R = 1$ см в формулу:

$A = (4\gamma - 2\pi)R^2 = (4 \cdot \frac{2\pi}{3} - 2\pi) \cdot 1^2 = (\frac{8\pi}{3} - \frac{6\pi}{3}) \cdot 1 = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$ см$^2$.