Номер 11.12, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11.12. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник.

Во сколько раз площадь описанной сферы больше площади сферы, вписанной в этот конус?

Осевое сечение конуса представляет собой равносторонний треугольник. Обозначим сторону этого треугольника как $a$. Сфера, вписанная в конус, и сфера, описанная около конуса, будут иметь в этом осевом сечении вписанную и описанную окружности для данного равностороннего треугольника.

Пусть $h$ - высота равностороннего треугольника, $r$ - радиус вписанной в него окружности (и, следовательно, радиус вписанной сферы), а $R$ - радиус описанной около него окружности (и, следовательно, радиус описанной сферы). Центр вписанной и описанной окружностей для равностороннего треугольника совпадает и лежит в точке пересечения его медиан (которые также являются высотами и биссектрисами). Эта точка делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины.

Таким образом, радиус описанной окружности $R$ составляет $2/3$ от высоты, а радиус вписанной окружности $r$ составляет $1/3$ от высоты.$R = \frac{2}{3}h$$r = \frac{1}{3}h$

Найдем отношение радиусов описанной и вписанной сфер:$\frac{R}{r} = \frac{\frac{2}{3}h}{\frac{1}{3}h} = 2$.

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S = 4\pi \cdot (\text{радиус})^2$.Пусть $S_{оп}$ - площадь описанной сферы, а $S_{вп}$ - площадь вписанной сферы.$S_{оп} = 4\pi R^2$$S_{вп} = 4\pi r^2$

Чтобы найти, во сколько раз площадь описанной сферы больше площади вписанной, нужно найти их отношение:$\frac{S_{оп}}{S_{вп}} = \frac{4\pi R^2}{4\pi r^2} = \left(\frac{R}{r}\right)^2$.

Подставим найденное ранее отношение радиусов:$\frac{S_{оп}}{S_{вп}} = 2^2 = 4$.

Таким образом, площадь описанной сферы в 4 раза больше площади вписанной сферы.

Ответ: 4