Номер 11.18, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11.18. Дан единичный куб. Шар, радиус которого равен 1 см, имеет своим центром вершину этого куба (рис. 11.5). Найдите площадь части поверхности шара, содержащейся в кубе.

Рис. 11.5

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим центр шара в начало координат, точку $O(0, 0, 0)$. Поскольку центр шара совпадает с одной из вершин куба, мы можем направить ребра этого куба, выходящие из этой вершины, вдоль положительных направлений осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$.

По условию, куб является единичным, значит, длина его ребра равна 1. В выбранной системе координат куб занимает область пространства, определяемую неравенствами $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, $0 \le z \le 1$.

Шар имеет центр в начале координат и радиус $R = 1$ см. Уравнение поверхности этого шара (сферы) имеет вид: $x^2 + y^2 + z^2 = R^2 = 1^2 = 1$.

Нам нужно найти площадь части поверхности шара, которая находится внутри куба. Это означает, что для точек $(x, y, z)$ на поверхности шара должны выполняться условия, задающие куб: $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$ и $0 \le z \le 1$.

Рассмотрим любую точку $(x, y, z)$ на поверхности шара. Из уравнения $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ следует, что $x^2 \le 1$, $y^2 \le 1$ и $z^2 \le 1$. Это эквивалентно тому, что $-1 \le x \le 1$, $-1 \le y \le 1$ и $-1 \le z \le 1$. Таким образом, условия $x \le 1$, $y \le 1$ и $z \le 1$ выполняются для любой точки на сфере. Следовательно, единственными ограничивающими условиями для части сферы внутри куба остаются $x \ge 0$, $y \ge 0$ и $z \ge 0$.

Эти три условия ($x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$) определяют первый октант пространства. Таким образом, искомая часть поверхности шара — это та его часть, которая лежит в первом октанте.

Сфера симметрична относительно координатных плоскостей $Oxy$, $Oxz$ и $Oyz$. Эти плоскости делят всю поверхность шара на 8 равных по площади частей (октантов). Часть сферы внутри куба — это в точности один из этих восьми октантов.

Площадь всей поверхности шара вычисляется по формуле:

$S_{полн} = 4\pi R^2$

Подставив значение радиуса $R = 1$ см, получим:

$S_{полн} = 4\pi (1)^2 = 4\pi$ см².

Площадь части поверхности шара, содержащейся в кубе, составляет $\frac{1}{8}$ от полной площади поверхности шара:

$S_{куб} = \frac{1}{8} S_{полн} = \frac{1}{8} \cdot 4\pi = \frac{\pi}{2}$ см².

Ответ: $\frac{\pi}{2}$ см².