Номер 11.20, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11.20. Повторите определения вписанных и описанных многоугольников.

Вписанный многоугольник

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Окружность при этом называется описанной около многоугольника. Около многоугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры ко всем его сторонам пересекаются в одной точке. Эта точка и будет центром описанной окружности.

Любой треугольник является вписанным, так как около него всегда можно описать окружность. Выпуклый четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Для четырёхугольника $ABCD$ это условие выглядит так: $\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ$.

Ответ: Вписанный многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.

Описанный многоугольник

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Окружность при этом называется вписанной в многоугольник. В многоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда биссектрисы всех его внутренних углов пересекаются в одной точке. Эта точка и будет центром вписанной окружности.

В любой треугольник всегда можно вписать окружность. Выпуклый четырёхугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. Это утверждение известно как теорема Пито. Для четырёхугольника со сторонами $a, b, c, d$ условие выглядит так: $a + c = b + d$.

Ответ: Описанный многоугольник — это многоугольник, все стороны которого касаются одной окружности.