Номер 11.17, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11.17. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник (рис. 11.4). Докажите, что площадь поверхности конуса равна площади поверхности шара, диаметр которого равен высоте конуса.

Рис. 11.4

Для доказательства данного утверждения найдем выражения для площади полной поверхности конуса и площади поверхности шара и сравним их.

1. Параметры и площадь поверхности конуса.

Пусть $R$ – радиус основания конуса, $H$ – его высота, а $L$ – длина образующей. Осевое сечение конуса представляет собой треугольник с основанием $2R$ и боковыми сторонами $L$.

По условию, это сечение является равносторонним треугольником. Отсюда следует, что все его стороны равны: $L = 2R$.

Высота конуса $H$ является высотой этого равностороннего треугольника. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $a\frac{\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае сторона равна $L$, поэтому: $H = L \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Выразим $R$ и $L$ через высоту конуса $H$: Из $H = L \frac{\sqrt{3}}{2}$ следует, что $L = \frac{2H}{\sqrt{3}}$. Поскольку $L = 2R$, то $R = \frac{L}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2H}{\sqrt{3}} = \frac{H}{\sqrt{3}}$.

Площадь полной поверхности конуса $S_{конуса}$ складывается из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{конуса} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R L = \pi R(R+L)$.

Подставим в эту формулу выражения для $R$ и $L$ через $H$: $S_{конуса} = \pi \left(\frac{H}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{H}{\sqrt{3}} + \frac{2H}{\sqrt{3}}\right) = \pi \frac{H}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3H}{\sqrt{3}} = \frac{3\pi H^2}{(\sqrt{3})^2} = \frac{3\pi H^2}{3} = \pi H^2$.

2. Параметры и площадь поверхности шара.

По условию, диаметр шара $D_{шара}$ равен высоте конуса $H$, то есть $D_{шара} = H$. Радиус шара $R_{шара}$ равен половине его диаметра: $R_{шара} = \frac{D_{шара}}{2} = \frac{H}{2}$.

Площадь поверхности шара $S_{шара}$ вычисляется по формуле: $S_{шара} = 4\pi R_{шара}^2$.

Подставим в формулу выражение для $R_{шара}$ через $H$: $S_{шара} = 4\pi \left(\frac{H}{2}\right)^2 = 4\pi \frac{H^2}{4} = \pi H^2$.

3. Сравнение площадей.

Сравнивая полученные результаты, мы видим, что площадь полной поверхности конуса и площадь поверхности шара равны: $S_{конуса} = \pi H^2$ $S_{шара} = \pi H^2$

Следовательно, $S_{конуса} = S_{шара}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь полной поверхности конуса ($S_{конуса} = \pi H^2$) действительно равна площади поверхности шара, диаметр которого равен высоте конуса ($S_{шара} = \pi H^2$).