Страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11.9. Найдите площадь поверхности сферы, описанной около цилиндра, осевым сечением которого является единичный квадрат.

11.9. По условию задачи, осевым сечением цилиндра является единичный квадрат. Осевое сечение — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d_{cyl}$.
Так как сечение является единичным квадратом, то его стороны равны 1. Следовательно, высота цилиндра $h = 1$ и диаметр основания цилиндра $d_{cyl} = 1$.
Радиус основания цилиндра $r_{cyl}$ равен половине диаметра: $r_{cyl} = d_{cyl} / 2 = 1/2$.
Сфера описана около цилиндра. Это значит, что окружности оснований цилиндра лежат на поверхности сферы. Центр описанной сферы совпадает с центром цилиндра (серединой его оси).
Радиус сферы $R$ можно найти как гипотенузу в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются радиус основания цилиндра $r_{cyl}$ и половина высоты цилиндра $h/2$. По теореме Пифагора:
$R^2 = r_{cyl}^2 + (h/2)^2$
Подставим известные значения $h=1$ и $r_{cyl}=1/2$:
$R^2 = (1/2)^2 + (1/2)^2 = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2$.
Также радиус сферы можно найти, рассмотрев диагональ осевого сечения. Диагональ $d_{sec}$ единичного квадрата является диаметром описанной сферы $D_{sph}$.
$d_{sec} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Значит, диаметр сферы $D_{sph} = \sqrt{2}$, а ее радиус $R = D_{sph} / 2 = \sqrt{2}/2$. Тогда $R^2 = (\sqrt{2}/2)^2 = 2/4 = 1/2$, что совпадает с предыдущим результатом.
Площадь поверхности сферы $S$ вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$.
Подставим значение $R^2 = 1/2$ в формулу:
$S = 4\pi \cdot (1/2) = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$.

11.10. Диаметр Солнца в 400 раз больше диаметра Луны. Во сколько раз площадь поверхности Солнца больше площади поверхности Луны?

11.10. Для решения данной задачи будем считать, что и Солнце, и Луна имеют форму идеального шара. Площадь поверхности шара ($S$) вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$, где $R$ — это радиус шара.

Радиус шара связан с его диаметром ($D$) соотношением $R = \frac{D}{2}$. Подставим это выражение в формулу площади поверхности, чтобы выразить ее через диаметр:

$S = 4\pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = 4\pi \frac{D^2}{4} = \pi D^2$.

Таким образом, площадь поверхности шара пропорциональна квадрату его диаметра.

Обозначим диаметр Солнца как $D_С$, а диаметр Луны как $D_Л$. Тогда их площади поверхностей будут равны:

$S_С = \pi D_С^2$

$S_Л = \pi D_Л^2$

По условию задачи известно, что диаметр Солнца в 400 раз больше диаметра Луны:

$D_С = 400 \cdot D_Л$

Чтобы найти, во сколько раз площадь поверхности Солнца больше площади поверхности Луны, нужно найти их отношение $\frac{S_С}{S_Л}$:

$\frac{S_С}{S_Л} = \frac{\pi D_С^2}{\pi D_Л^2} = \frac{D_С^2}{D_Л^2} = \left(\frac{D_С}{D_Л}\right)^2$

Так как мы знаем, что $\frac{D_С}{D_Л} = 400$, подставим это значение в полученное выражение:

$\frac{S_С}{S_Л} = (400)^2 = 400 \times 400 = 160000$

Следовательно, площадь поверхности Солнца в 160 000 раз больше площади поверхности Луны.

Ответ: в 160 000 раз.

11.11. Во сколько раз площадь сферы, вписанной в куб, меньше площади сферы, описанной около этого куба.

Пусть ребро куба имеет длину $a$.

Сфера, вписанная в куб, касается центров всех его шести граней. Ее диаметр равен длине ребра куба $a$. Следовательно, радиус вписанной сферы $r$ равен: $r = \frac{a}{2}$.

Площадь поверхности вписанной сферы ($S_{вп}$) вычисляется по формуле $S = 4\pi r^2$. Подставим значение радиуса: $S_{вп} = 4\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 4\pi \frac{a^2}{4} = \pi a^2$.

Сфера, описанная около куба, проходит через все восемь его вершин. Ее диаметр равен главной диагонали куба $d$. Длину диагонали куба можно найти по теореме Пифагора для трех измерений: $d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$. Радиус описанной сферы $R$ равен половине диагонали: $R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Площадь поверхности описанной сферы ($S_{оп}$) равна: $S_{оп} = 4\pi R^2 = 4\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 4\pi \frac{3a^2}{4} = 3\pi a^2$.

Чтобы найти, во сколько раз площадь вписанной сферы меньше площади описанной, необходимо найти отношение их площадей: $\frac{S_{оп}}{S_{вп}} = \frac{3\pi a^2}{\pi a^2} = 3$.

Ответ: в 3 раза.

11.12. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник.

Во сколько раз площадь описанной сферы больше площади сферы, вписанной в этот конус?

Осевое сечение конуса представляет собой равносторонний треугольник. Обозначим сторону этого треугольника как $a$. Сфера, вписанная в конус, и сфера, описанная около конуса, будут иметь в этом осевом сечении вписанную и описанную окружности для данного равностороннего треугольника.

Пусть $h$ - высота равностороннего треугольника, $r$ - радиус вписанной в него окружности (и, следовательно, радиус вписанной сферы), а $R$ - радиус описанной около него окружности (и, следовательно, радиус описанной сферы). Центр вписанной и описанной окружностей для равностороннего треугольника совпадает и лежит в точке пересечения его медиан (которые также являются высотами и биссектрисами). Эта точка делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины.

Таким образом, радиус описанной окружности $R$ составляет $2/3$ от высоты, а радиус вписанной окружности $r$ составляет $1/3$ от высоты.$R = \frac{2}{3}h$$r = \frac{1}{3}h$

Найдем отношение радиусов описанной и вписанной сфер:$\frac{R}{r} = \frac{\frac{2}{3}h}{\frac{1}{3}h} = 2$.

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S = 4\pi \cdot (\text{радиус})^2$.Пусть $S_{оп}$ - площадь описанной сферы, а $S_{вп}$ - площадь вписанной сферы.$S_{оп} = 4\pi R^2$$S_{вп} = 4\pi r^2$

Чтобы найти, во сколько раз площадь описанной сферы больше площади вписанной, нужно найти их отношение:$\frac{S_{оп}}{S_{вп}} = \frac{4\pi R^2}{4\pi r^2} = \left(\frac{R}{r}\right)^2$.

Подставим найденное ранее отношение радиусов:$\frac{S_{оп}}{S_{вп}} = 2^2 = 4$.

Таким образом, площадь описанной сферы в 4 раза больше площади вписанной сферы.

Ответ: 4

11.13. Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см. Найдите площадь поверхности шара.

Обозначим радиус шара как $R$, расстояние от центра шара до секущей плоскости как $d$, и радиус кругового сечения как $r$.

Согласно условию задачи, мы имеем:
$d = 8$ см (расстояние от центра до плоскости сечения).
$r = 6$ см (радиус сечения).

Эти три величины ($R$, $d$ и $r$) связаны между собой как стороны прямоугольного треугольника. Радиус шара $R$ является гипотенузой, а расстояние $d$ и радиус сечения $r$ — катетами. По теореме Пифагора:
$R^2 = d^2 + r^2$

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти радиус шара:
$R^2 = 8^2 + 6^2$
$R^2 = 64 + 36$
$R^2 = 100$
$R = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь, зная радиус шара, мы можем найти площадь его поверхности. Формула для площади поверхности шара:
$S = 4 \pi R^2$

Подставим найденное значение $R=10$ см в формулу:
$S = 4 \pi (10)^2$
$S = 4 \pi \cdot 100$
$S = 400 \pi$ см$^2$.

Ответ: $400 \pi$ см$^2$.

11.14. Найдите площадь поверхности Земли, считая длину Парижского меридиана равной 40 000 км.

11.14. Для решения этой задачи мы будем аппроксимировать форму Земли идеальным шаром. Длина меридиана в этом случае соответствует длине большой окружности шара.

Пусть $R$ — радиус Земли, $C$ — длина меридиана (большой окружности), $S$ — площадь поверхности Земли.
По условию задачи, нам дана длина меридиана: $C = 40\ 000$ км.

Формула для длины большой окружности шара:
$C = 2\pi R$
Из этой формулы мы можем выразить радиус шара $R$:
$R = \frac{C}{2\pi}$

Формула для площади поверхности шара:
$S = 4\pi R^2$

Чтобы найти площадь поверхности, подставим выражение для радиуса $R$ в формулу для площади $S$:
$S = 4\pi \left(\frac{C}{2\pi}\right)^2 = 4\pi \frac{C^2}{4\pi^2} = \frac{C^2}{\pi}$

Теперь, используя данное значение длины меридиана $C = 40\ 000$ км, вычислим площадь поверхности:
$S = \frac{(40\ 000)^2}{\pi} = \frac{1\ 600\ 000\ 000}{\pi}$ км².

Это точный ответ. Если требуется численное значение, можно использовать приближение $\pi \approx 3,14159$:
$S \approx \frac{1\ 600\ 000\ 000}{3,14159} \approx 509\ 295\ 818$ км².
Обычно это значение округляют до 510 миллионов квадратных километров.

Ответ: $\frac{1\ 600\ 000\ 000}{\pi}$ км² (что приблизительно равно $5,1 \cdot 10^8$ км²).

11.15. Диаметр шара монумента Байтерек в Нур-Султане (рис. 11.2) равен 22 м. Найдите площадь поверхности этого шара.

Рис. 11.2

11.15. Чтобы найти площадь поверхности шара, можно воспользоваться одной из двух формул: через радиус ($r$) или через диаметр ($d$).

1. Формула площади поверхности шара через радиус: $S = 4 \pi r^2$.
2. Формула площади поверхности шара через диаметр: $S = \pi d^2$.

По условию задачи, диаметр шара монумента «Байтерек» равен $d = 22$ м.

Проще всего использовать формулу с диаметром:

$S = \pi \cdot (22)^2 = 484\pi$ м$^2$.

Также можно решить задачу через радиус. Сначала найдем радиус шара, который равен половине диаметра:

$r = \frac{d}{2} = \frac{22}{2} = 11$ м.

Теперь подставим значение радиуса в соответствующую формулу:

$S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \cdot (11)^2 = 4 \pi \cdot 121 = 484\pi$ м$^2$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $484\pi$ м$^2$.

17.16. ЭКСПО-2017

Международная специализированная выставка под эгидой Международного бюро выставок, прошедшая в столице Казахстана городе Нур-Султан в 2017 году. Главным объектом выставки стало здание “Нур Әлем” (каз. “Сияющий мир”), которое является самым большим сферическим зданием в мире. Его высота — 100 метров, а диаметр — 80 метров (рис. 11.3). Найдите площадь поверхности этой сферы. (Примите $\pi \approx 3$)

Рис. 11.3

17.16. Для нахождения площади поверхности сферы используется формула $S = 4\pi r^2$, где $S$ — площадь поверхности, а $r$ — радиус сферы. Также можно использовать эквивалентную формулу через диаметр $d$: поскольку $d = 2r$, то $S = \pi d^2$.

Согласно условию задачи, нам даны следующие значения:
Диаметр сферы: $d = 80$ метров.
Приближенное значение числа пи: $\pi \approx 3$.

Для расчета удобнее использовать формулу с диаметром. Подставим известные значения в формулу $S = \pi d^2$:
$S \approx 3 \times (80)^2$
$S \approx 3 \times 6400$
$S \approx 19200$ м².

Для проверки можно выполнить расчет через радиус. Сначала найдем радиус сферы:
$r = d / 2 = 80 / 2 = 40$ метров.
Теперь подставим значения в формулу $S = 4\pi r^2$:
$S \approx 4 \times 3 \times (40)^2$
$S \approx 12 \times 1600$
$S \approx 19200$ м².

Оба способа расчета приводят к одному и тому же результату. Информация о высоте здания в 100 метров является избыточной для решения данной задачи, так как для вычисления площади поверхности сферы необходим только её диаметр или радиус.

Ответ: 19200 м².

11.17. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник (рис. 11.4). Докажите, что площадь поверхности конуса равна площади поверхности шара, диаметр которого равен высоте конуса.

Рис. 11.4

Для доказательства данного утверждения найдем выражения для площади полной поверхности конуса и площади поверхности шара и сравним их.

1. Параметры и площадь поверхности конуса.

Пусть $R$ – радиус основания конуса, $H$ – его высота, а $L$ – длина образующей. Осевое сечение конуса представляет собой треугольник с основанием $2R$ и боковыми сторонами $L$.

По условию, это сечение является равносторонним треугольником. Отсюда следует, что все его стороны равны: $L = 2R$.

Высота конуса $H$ является высотой этого равностороннего треугольника. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $a\frac{\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае сторона равна $L$, поэтому: $H = L \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Выразим $R$ и $L$ через высоту конуса $H$: Из $H = L \frac{\sqrt{3}}{2}$ следует, что $L = \frac{2H}{\sqrt{3}}$. Поскольку $L = 2R$, то $R = \frac{L}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2H}{\sqrt{3}} = \frac{H}{\sqrt{3}}$.

Площадь полной поверхности конуса $S_{конуса}$ складывается из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{конуса} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R L = \pi R(R+L)$.

Подставим в эту формулу выражения для $R$ и $L$ через $H$: $S_{конуса} = \pi \left(\frac{H}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{H}{\sqrt{3}} + \frac{2H}{\sqrt{3}}\right) = \pi \frac{H}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3H}{\sqrt{3}} = \frac{3\pi H^2}{(\sqrt{3})^2} = \frac{3\pi H^2}{3} = \pi H^2$.

2. Параметры и площадь поверхности шара.

По условию, диаметр шара $D_{шара}$ равен высоте конуса $H$, то есть $D_{шара} = H$. Радиус шара $R_{шара}$ равен половине его диаметра: $R_{шара} = \frac{D_{шара}}{2} = \frac{H}{2}$.

Площадь поверхности шара $S_{шара}$ вычисляется по формуле: $S_{шара} = 4\pi R_{шара}^2$.

Подставим в формулу выражение для $R_{шара}$ через $H$: $S_{шара} = 4\pi \left(\frac{H}{2}\right)^2 = 4\pi \frac{H^2}{4} = \pi H^2$.

3. Сравнение площадей.

Сравнивая полученные результаты, мы видим, что площадь полной поверхности конуса и площадь поверхности шара равны: $S_{конуса} = \pi H^2$ $S_{шара} = \pi H^2$

Следовательно, $S_{конуса} = S_{шара}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь полной поверхности конуса ($S_{конуса} = \pi H^2$) действительно равна площади поверхности шара, диаметр которого равен высоте конуса ($S_{шара} = \pi H^2$).