Страница 63 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9.12. Радиус сферы равен 3 см. Длина отрезка касательной, проведенной через данную точку к данной сфере, равна 4 см. Найдите расстояние от данной точки до центра сферы.

Обозначим центр сферы буквой $O$, данную точку, из которой проведена касательная, буквой $A$, а точку касания — буквой $B$.

В соответствии с условием задачи, мы имеем следующие данные:

• Радиус сферы $R = OB = 3$ см.
• Длина отрезка касательной $L = AB = 4$ см.

Требуется найти расстояние от точки $A$ до центра сферы $O$, то есть длину отрезка $OA$.

По основному свойству касательной к сфере, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, отрезок $OB$ перпендикулярен отрезку $AB$, и угол $\angle OBA$ является прямым ($\angle OBA = 90^\circ$).

Это означает, что точки $O$, $B$ и $A$ образуют прямоугольный треугольник $\triangle OBA$, в котором:

• $OB$ и $AB$ являются катетами.
• $OA$ является гипотенузой.

Для нахождения длины гипотенузы $OA$ воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$OA^2 = OB^2 + AB^2$

Подставим в формулу известные значения длин катетов:

$OA^2 = 3^2 + 4^2$

$OA^2 = 9 + 16$

$OA^2 = 25$

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти длину $OA$:

$OA = \sqrt{25} = 5$ см.

Таким образом, расстояние от данной точки до центра сферы составляет 5 см.

Ответ: 5 см.

9.13. Радиус сферы равен 6 см. Расстояние от точки до центра сферы равно 10 см. Найдите длину отрезка касательной.

Пусть $O$ — центр сферы, $R$ — её радиус, $A$ — точка, из которой проведена касательная, и $B$ — точка касания. Отрезок $OB$ является радиусом сферы, а отрезок $AB$ — искомым отрезком касательной.

По условию задачи даны:
Радиус сферы: $R = OB = 6$ см.
Расстояние от точки до центра сферы: $OA = 10$ см.

По свойству касательной к сфере, радиус, проведенный в точку касания ($OB$), перпендикулярен самой касательной ($AB$). Следовательно, треугольник $\triangle OAB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle OBA = 90^\circ$).

В этом прямоугольном треугольнике:
• $OB$ — катет, равный 6 см.
• $AB$ — катет, длину которого нужно найти.
• $OA$ — гипотенуза, равная 10 см.

Применим теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$OB^2 + AB^2 = OA^2$

Выразим из этого уравнения длину катета $AB$:
$AB^2 = OA^2 - OB^2$
Подставим известные значения и произведем расчет:
$AB^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$
Найдем длину $AB$, извлекая квадратный корень:
$AB = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

9.14. Расстояние от точки до центра сферы равно $13 \text{ см}$. Длина отрезка касательной, проведенной через данную точку к данной сфере, равна $12 \text{ см}$. Найдите радиус сферы.

9.14. Обозначим центр сферы буквой $O$, данную точку, из которой проведена касательная, буквой $A$, а точку касания — буквой $B$.Из условия задачи нам даны:Расстояние от точки до центра сферы: $AO = 13$ см.Длина отрезка касательной: $AB = 12$ см.Необходимо найти радиус сферы: $OB = R$.

Радиус, проведенный в точку касания, всегда перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус $OB$ перпендикулярен касательной $AB$. Это означает, что треугольник $\triangle OBA$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle OBA = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $\triangle OBA$ сторона $AO$ является гипотенузой, а стороны $OB$ и $AB$ — катетами.Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:$AO^2 = OB^2 + AB^2$

Подставим известные значения в это уравнение, чтобы найти радиус $R = OB$:$13^2 = R^2 + 12^2$$169 = R^2 + 144$

Выразим $R^2$:$R^2 = 169 - 144$$R^2 = 25$

Найдем радиус, извлекая квадратный корень из полученного значения (длина радиуса может быть только положительным числом):$R = \sqrt{25}$$R = 5$ см.

Ответ: 5 см.

9.15. Как расположены между собой сфера,

заданная уравнением $x^2 + y^2 + z^2 = 4$,

и плоскость, заданная уравнением:

а) $z = 1$; б) $z = 2$; в) $z = 3$?

Для определения взаимного расположения сферы и плоскости необходимо сравнить расстояние от центра сферы до плоскости ($d$) с радиусом сферы ($R$).

Уравнение сферы задано как $x^2 + y^2 + z^2 = 4$. Это каноническое уравнение сферы с центром в начале координат $C(0, 0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.

Возможны три случая:

• Если $d < R$, плоскость пересекает сферу по окружности.
• Если $d = R$, плоскость касается сферы в одной точке.
• Если $d > R$, плоскость и сфера не имеют общих точек.

Расстояние от центра сферы $C(0,0,0)$ до плоскости, заданной уравнением $z = k$ (или $z - k = 0$), равно $d = |k|$.

Рассмотрим каждый случай.

а) z = 1

Плоскость задана уравнением $z = 1$.

Расстояние от центра сферы $C(0, 0, 0)$ до этой плоскости равно $d = |1| = 1$.

Сравниваем расстояние с радиусом: $d = 1$, $R = 2$.

Так как $d < R$ ($1 < 2$), плоскость пересекает сферу.

Чтобы найти линию пересечения, подставим $z=1$ в уравнение сферы:

$x^2 + y^2 + 1^2 = 4$

$x^2 + y^2 = 4 - 1$

$x^2 + y^2 = 3$

Это уравнение описывает окружность в плоскости $z=1$ с центром в точке $(0, 0, 1)$ и радиусом $r = \sqrt{3}$.

Ответ: плоскость пересекает сферу по окружности.

б) z = 2

Плоскость задана уравнением $z = 2$.

Расстояние от центра сферы $C(0, 0, 0)$ до этой плоскости равно $d = |2| = 2$.

Сравниваем расстояние с радиусом: $d = 2$, $R = 2$.

Так как $d = R$, плоскость касается сферы.

Найдем точку касания, подставив $z=2$ в уравнение сферы:

$x^2 + y^2 + 2^2 = 4$

$x^2 + y^2 = 4 - 4$

$x^2 + y^2 = 0$

Это уравнение имеет единственное решение: $x=0$, $y=0$. Таким образом, точка касания — $(0, 0, 2)$.

Ответ: плоскость касается сферы в точке $(0, 0, 2)$.

в) z = 3

Плоскость задана уравнением $z = 3$.

Расстояние от центра сферы $C(0, 0, 0)$ до этой плоскости равно $d = |3| = 3$.

Сравниваем расстояние с радиусом: $d = 3$, $R = 2$.

Так как $d > R$ ($3 > 2$), плоскость и сфера не имеют общих точек.

Проверим это, подставив $z=3$ в уравнение сферы:

$x^2 + y^2 + 3^2 = 4$

$x^2 + y^2 = 4 - 9$

$x^2 + y^2 = -5$

Уравнение не имеет действительных решений, так как сумма квадратов не может быть отрицательной. Это подтверждает, что общих точек нет.

Ответ: плоскость и сфера не пересекаются.

9.16. Найдите радиус Земли (рис. 9.9), зная, что длина Парижского меридиана равна 40 000 км.

Рис. 9.9

Для решения этой задачи мы принимаем Землю за идеальный шар. Парижский меридиан, как и любой другой меридиан, является большой окружностью на поверхности этого шара. Длина большой окружности $L$ связана с радиусом шара $R$ по формуле:

$L = 2 \pi R$

В условии задачи дано, что длина Парижского меридиана $L$ равна 40 000 км. Используя эту информацию, мы можем найти радиус Земли $R$. Для этого выразим $R$ из формулы:

$R = \frac{L}{2 \pi}$

Теперь подставим известное значение длины меридиана в формулу:

$R = \frac{40 000 \text{ км}}{2 \pi} = \frac{20 000}{\pi} \text{ км}$

Это точный ответ. Для получения приближенного численного значения воспользуемся значением числа $\pi \approx 3.14159$ и округлим результат до целого числа:

$R \approx \frac{20 000}{3.14159} \approx 6366.1977... \text{ км} \approx 6366 \text{ км}$

Ответ: радиус Земли равен $\frac{20 000}{\pi} \text{ км}$, что приблизительно составляет $6366 \text{ км}$.

9.17. Радиус сферы равен 4 см. Расстояние от данной точки до центра этой сферы равно 6 см. Найдите наименьшее и наибольшее расстояния от данной точки до точек сферы.

Пусть $O$ — центр сферы, а $P$ — данная точка. По условию, радиус сферы $R = 4$ см, а расстояние от точки $P$ до центра сферы $O$ равно $d = 6$ см. Так как расстояние от точки до центра сферы больше радиуса ($d > R$), точка $P$ находится вне сферы.

Наименьшее и наибольшее расстояния от точки $P$ до точек сферы будут лежать на прямой, проходящей через центр сферы $O$ и точку $P$. Эта прямая пересекает сферу в двух точках.

Наименьшее расстояние от точки $P$ до сферы — это расстояние до ближайшей точки на её поверхности. Эта точка (назовем её $A$) лежит на отрезке $OP$. Расстояние $PA$ равно разности расстояния от точки $P$ до центра сферы и радиуса сферы.

$d_{мин} = d - R = 6 - 4 = 2$ см.

Ответ: 2 см.

Наибольшее расстояние от точки $P$ до сферы — это расстояние до самой дальней точки на её поверхности. Эта точка (назовем её $B$) лежит на той же прямой, что и $P$ и $O$, но центр $O$ находится между точками $P$ и $B$. Расстояние $PB$ равно сумме расстояния от точки $P$ до центра сферы и радиуса сферы.

$d_{макс} = d + R = 6 + 4 = 10$ см.

Ответ: 10 см.

9.18. Наименьшее и наибольшее расстояния от данной точки, расположенной вне сферы, до точек сферы равны 4 см и 6 см. Найдите радиус сферы.

Пусть $O$ — центр сферы, а $R$ — её радиус. Пусть $P$ — данная точка, расположенная вне сферы. Наименьшее и наибольшее расстояния от точки $P$ до точек сферы находятся на прямой, проходящей через точку $P$ и центр сферы $O$.

Пусть эта прямая пересекает сферу в точках $A$ и $B$. Точка $A$ будет ближайшей к $P$, а точка $B$ — наиболее удаленной. Точки на прямой располагаются в следующем порядке: $P$, $A$, $O$, $B$.

Наименьшее расстояние от точки $P$ до сферы — это длина отрезка $PA$. По условию, $PA = 4$ см. Это расстояние можно выразить через расстояние от точки $P$ до центра сферы $PO$ и радиус $R$:

$PA = PO - R = 4$

Наибольшее расстояние от точки $P$ до сферы — это длина отрезка $PB$. По условию, $PB = 6$ см. Это расстояние также можно выразить через $PO$ и $R$:

$PB = PO + R = 6$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} PO - R = 4 \\ PO + R = 6 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(PO - R) + (PO + R) = 4 + 6$

$2 \cdot PO = 10$

$PO = 5$ см

Теперь подставим значение $PO$ в любое из уравнений, чтобы найти $R$. Возьмем второе уравнение:

$5 + R = 6$

$R = 6 - 5$

$R = 1$ см

Другой способ решения заключается в том, чтобы заметить, что разница между наибольшим и наименьшим расстоянием равна диаметру сферы ($2R$):

$PB - PA = (PO + R) - (PO - R) = 2R$

$2R = 6 - 4$

$2R = 2$

$R = 1$ см

Ответ: 1 см.

9.19 Как расположены между собой сфера, заданная уравнением $x^2 + y^2 + z^2 = 1$, и плоскость, заданная уравнением:

a) $x + y + z = \sqrt{2}$

б) $x + y + z = \sqrt{3}$

в) $x + y + z = 2$

Для определения взаимного расположения сферы и плоскости, сперва найдем параметры сферы. Уравнение $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ — это каноническое уравнение сферы с центром в начале координат, точке $O(0, 0, 0)$, и радиусом $R = \sqrt{1} = 1$.

Затем, для каждого случая, мы вычислим расстояние $d$ от центра сферы $O(0, 0, 0)$ до заданной плоскости. Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости, заданной уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, находится по формуле: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Так как центр сферы — точка $O(0, 0, 0)$, формула упрощается: $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Взаимное расположение определяется сравнением расстояния $d$ и радиуса $R$:

• если $d < R$, то плоскость пересекает сферу;

• если $d = R$, то плоскость касается сферы;

• если $d > R$, то плоскость и сфера не имеют общих точек.

а) Рассмотрим плоскость $x + y + z = \sqrt{2}$.

Приведем уравнение плоскости к общему виду: $x + y + z - \sqrt{2} = 0$. Отсюда коэффициенты: $A=1$, $B=1$, $C=1$, $D=-\sqrt{2}$.

Вычислим расстояние $d$ от центра сферы до плоскости:

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - \sqrt{2}|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Сравним $d$ с радиусом $R=1$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$ и $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $d = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} < 1$. Следовательно, $d < R$.

Это означает, что плоскость пересекает сферу. Линией пересечения является окружность.
Ответ: плоскость пересекает сферу.

б) Рассмотрим плоскость $x + y + z = \sqrt{3}$.

Общий вид уравнения: $x + y + z - \sqrt{3} = 0$. Коэффициенты: $A=1$, $B=1$, $C=1$, $D=-\sqrt{3}$.

Вычислим расстояние $d$ от центра сферы до плоскости:

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - \sqrt{3}|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$.

Сравним $d$ с радиусом $R=1$. Получаем, что $d = 1 = R$.

Это означает, что плоскость касается сферы в одной точке.
Ответ: плоскость касается сферы.

в) Рассмотрим плоскость $x + y + z = 2$.

Общий вид уравнения: $x + y + z - 2 = 0$. Коэффициенты: $A=1$, $B=1$, $C=1$, $D=-2$.

Вычислим расстояние $d$ от центра сферы до плоскости:

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

Сравним $d$ с радиусом $R=1$. Так как $2 > \sqrt{3}$, то $d = \frac{2}{\sqrt{3}} > 1$. Следовательно, $d > R$.

Это означает, что плоскость и сфера не имеют общих точек.
Ответ: плоскость и сфера не имеют общих точек.

9.20. Повторите определения окружностей, вписанных и описанных около прямоугольника, треугольника, трапеции; формулы для нахождения их радиусов.

Определения

Описанная окружность — это окружность, проходящая через все вершины многоугольника. Сам многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность. Центр описанной окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся всех сторон многоугольника. Сам многоугольник в этом случае называется описанным около окружности. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов многоугольника.

Прямоугольник

Описанная окружность:

Около любого прямоугольника можно описать окружность. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения диагоналей. Радиус $R$ равен половине длины диагонали $d$.

Если стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, то его диагональ по теореме Пифагора равна $d = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Формула для радиуса описанной окружности:

$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$

Ответ: $R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$.

Вписанная окружность:

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом. Это следует из основного свойства описанного четырехугольника: суммы длин его противоположных сторон должны быть равны. Для прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ это условие выглядит как $a+a = b+b$, что равносильно $a=b$.

Если сторона квадрата равна $a$, то радиус вписанной окружности $r$ равен половине его стороны.

Формула для радиуса вписанной окружности:

$r = \frac{a}{2}$

Ответ: В прямоугольник можно вписать окружность, только если он является квадратом. Радиус $r = \frac{a}{2}$, где $a$ — сторона квадрата.

Треугольник

Описанная окружность:

Около любого треугольника можно описать окружность. Ее центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Пусть $a, b, c$ — стороны треугольника, $A, B, C$ — противолежащие им углы, $S$ — площадь треугольника. Радиус описанной окружности $R$ можно найти по формулам:

$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}$ (следствие из теоремы синусов)

$R = \frac{abc}{4S}$

Ответ: $R = \frac{abc}{4S}$.

Вписанная окружность:

В любой треугольник можно вписать окружность. Ее центр — точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Пусть $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр ($p = \frac{a+b+c}{2}$). Радиус вписанной окружности $r$ находится по формуле:

$r = \frac{S}{p}$

Ответ: $r = \frac{S}{p}$.

Трапеция

Описанная окружность:

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда трапеция является равнобокой (равнобедренной).

Пусть $a$ и $b$ — основания равнобокой трапеции, $c$ — боковая сторона, $d_{tr}$ — диагональ, $h$ — высота. Радиус описанной окружности $R$ равен радиусу окружности, описанной около треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и большим основанием. Радиус можно вычислить по формуле:

$R = \frac{c \cdot d_{tr}}{2h}$

где высота $h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{|a-b|}{2}\right)^2}$ и диагональ $d_{tr} = \sqrt{ab+c^2}$.

Ответ: Окружность можно описать только около равнобокой трапеции. Радиус вычисляется по формуле $R = \frac{c \cdot d_{tr}}{2h}$.

Вписанная окружность:

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон. Если $a, b$ — основания, а $c_1, c_2$ — боковые стороны, то должно выполняться условие $a+b = c_1+c_2$.

Радиус вписанной окружности $r$ равен половине высоты трапеции $h$.

$r = \frac{h}{2}$

Для равнобокой трапеции ($c_1=c_2=c$), в которую можно вписать окружность, выполняется $a+b=2c$, а высота может быть найдена по формуле $h = \sqrt{ab}$. В этом случае $r=\frac{\sqrt{ab}}{2}$.

Ответ: В трапецию можно вписать окружность, если сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. Радиус $r = \frac{h}{2}$.