Номер 9.15, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9.15. Как расположены между собой сфера,

заданная уравнением $x^2 + y^2 + z^2 = 4$,

и плоскость, заданная уравнением:

а) $z = 1$; б) $z = 2$; в) $z = 3$?

Для определения взаимного расположения сферы и плоскости необходимо сравнить расстояние от центра сферы до плоскости ($d$) с радиусом сферы ($R$).

Уравнение сферы задано как $x^2 + y^2 + z^2 = 4$. Это каноническое уравнение сферы с центром в начале координат $C(0, 0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.

Возможны три случая:

• Если $d < R$, плоскость пересекает сферу по окружности.
• Если $d = R$, плоскость касается сферы в одной точке.
• Если $d > R$, плоскость и сфера не имеют общих точек.

Расстояние от центра сферы $C(0,0,0)$ до плоскости, заданной уравнением $z = k$ (или $z - k = 0$), равно $d = |k|$.

Рассмотрим каждый случай.

а) z = 1

Плоскость задана уравнением $z = 1$.

Расстояние от центра сферы $C(0, 0, 0)$ до этой плоскости равно $d = |1| = 1$.

Сравниваем расстояние с радиусом: $d = 1$, $R = 2$.

Так как $d < R$ ($1 < 2$), плоскость пересекает сферу.

Чтобы найти линию пересечения, подставим $z=1$ в уравнение сферы:

$x^2 + y^2 + 1^2 = 4$

$x^2 + y^2 = 4 - 1$

$x^2 + y^2 = 3$

Это уравнение описывает окружность в плоскости $z=1$ с центром в точке $(0, 0, 1)$ и радиусом $r = \sqrt{3}$.

Ответ: плоскость пересекает сферу по окружности.

б) z = 2

Плоскость задана уравнением $z = 2$.

Расстояние от центра сферы $C(0, 0, 0)$ до этой плоскости равно $d = |2| = 2$.

Сравниваем расстояние с радиусом: $d = 2$, $R = 2$.

Так как $d = R$, плоскость касается сферы.

Найдем точку касания, подставив $z=2$ в уравнение сферы:

$x^2 + y^2 + 2^2 = 4$

$x^2 + y^2 = 4 - 4$

$x^2 + y^2 = 0$

Это уравнение имеет единственное решение: $x=0$, $y=0$. Таким образом, точка касания — $(0, 0, 2)$.

Ответ: плоскость касается сферы в точке $(0, 0, 2)$.

в) z = 3

Плоскость задана уравнением $z = 3$.

Расстояние от центра сферы $C(0, 0, 0)$ до этой плоскости равно $d = |3| = 3$.

Сравниваем расстояние с радиусом: $d = 3$, $R = 2$.

Так как $d > R$ ($3 > 2$), плоскость и сфера не имеют общих точек.

Проверим это, подставив $z=3$ в уравнение сферы:

$x^2 + y^2 + 3^2 = 4$

$x^2 + y^2 = 4 - 9$

$x^2 + y^2 = -5$

Уравнение не имеет действительных решений, так как сумма квадратов не может быть отрицательной. Это подтверждает, что общих точек нет.

Ответ: плоскость и сфера не пересекаются.