Номер 9.8, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9.8 Сколько касательных плоскостей можно провести к данной сфере:

а) через точку, принадлежащую сфере;

б) через точку, расположенную внутри сферы;

б) через точку, расположенную вне сферы?

а) через точку, принадлежащую сфере;
Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть точка $A$ принадлежит поверхности сферы. Расстояние от центра до этой точки равно радиусу: $OA = R$.
Касательная плоскость к сфере в данной точке — это плоскость, которая имеет со сферой только одну общую точку. Основное свойство касательной плоскости заключается в том, что она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
В нашем случае касательная плоскость должна проходить через точку $A$ и быть перпендикулярной радиусу $OA$.
Из теоремы стереометрии известно, что через любую точку пространства (точку $A$) можно провести одну и только одну плоскость, перпендикулярную данной прямой (прямой, содержащей отрезок $OA$).
Следовательно, через точку, лежащую на сфере, можно провести ровно одну касательную плоскость.
Ответ: можно провести одну касательную плоскость.

б) через точку, расположенную внутри сферы;
Пусть точка $P$ расположена внутри сферы. Это означает, что расстояние от центра сферы $O$ до точки $P$ меньше радиуса $R$: $OP < R$.
Предположим, что через точку $P$ можно провести касательную плоскость $\alpha$. По определению, расстояние от центра сферы до касательной плоскости равно радиусу $R$.
Однако, поскольку точка $P$ лежит в плоскости $\alpha$, расстояние от центра $O$ до плоскости $\alpha$ не может быть больше расстояния от $O$ до $P$. Пусть $H$ — проекция точки $O$ на плоскость $\alpha$. Тогда расстояние от $O$ до $\alpha$ есть длина перпендикуляра $OH$. В общем случае для любой точки $P$ в плоскости $\alpha$ выполняется неравенство $OH \le OP$.
Так как мы знаем, что $OP < R$, то отсюда следует, что $OH < R$.
Это противоречит условию касания плоскости ($OH = R$). Любая плоскость, проходящая через внутреннюю точку $P$, будет секущей, то есть будет пересекать сферу по окружности.
Следовательно, через точку, расположенную внутри сферы, невозможно провести касательную плоскость.
Ответ: нельзя провести ни одной касательной плоскости (0 плоскостей).

в) через точку, расположенную вне сферы?
Пусть точка $P$ расположена вне сферы. Это означает, что расстояние от центра сферы $O$ до точки $P$ больше радиуса $R$: $OP > R$.
Рассмотрим множество всех точек касания $T$ на сфере для плоскостей, проходящих через точку $P$. Касательная плоскость в точке $T$ перпендикулярна радиусу $OT$. Так как точка $P$ лежит в этой плоскости, то и отрезок $PT$ лежит в ней.
Из того, что радиус $OT$ перпендикулярен касательной плоскости, следует, что $OT$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через $T$, в том числе и прямой $PT$. Таким образом, треугольник $\triangle OPT$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $T$.
Множество всех возможных точек касания $T$ на сфере образует окружность. Эта окружность является линией пересечения данной сферы и другой сферы, диаметром которой служит отрезок $OP$.
Для каждой точки $T$ на этой окружности касания можно провести касательную прямую $PT$ из точки $P$ к сфере. Касательная плоскость к сфере в точке $T$ содержит эту прямую $PT$.
Поскольку окружность касания состоит из бесконечного множества точек, то из точки $P$ можно провести к сфере бесконечное множество касательных прямых. Каждая из этих касательных прямых вместе с точкой $P$ определяет единственную касательную плоскость. Эти плоскости образуют поверхность конуса с вершиной в точке $P$, который касается сферы.
Следовательно, через точку, расположенную вне сферы, можно провести бесконечно много касательных плоскостей.
Ответ: можно провести бесконечно много касательных плоскостей.