Номер 9.6, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9.6. Расстояние между точками А и В равно 2 см. Найдите наименьший возможный радиус сферы, проходящей через эти точки.

9.6. Пусть точки А и В лежат на поверхности сферы. Отрезок АВ, соединяющий эти две точки, является хордой данной сферы. По условию задачи длина этой хорды составляет $AB = 2$ см.

Обозначим радиус сферы как $R$, а ее центр — как точку O. Поскольку точки А и В лежат на сфере, расстояние от центра до каждой из них равно радиусу: $OA = OB = R$.

Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через центр O и точки А, В. В сечении мы получим окружность радиуса $R$, для которой отрезок АВ является хордой. Пусть M — середина хорды АВ. Тогда $AM = \frac{AB}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см. В равнобедренном треугольнике AOB отрезок OM является медианой и высотой, следовательно, треугольник OMA — прямоугольный с прямым углом при вершине M.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику OMA:

$OA^2 = AM^2 + OM^2$

Подставим известные обозначения и значения:

$R^2 = 1^2 + OM^2$

$R^2 = 1 + OM^2$

Из этой формулы видно, что радиус $R$ зависит от расстояния $OM$ от центра сферы до хорды АВ. Чтобы радиус $R$ был наименьшим, значение $R^2$ должно быть минимальным. Этого можно достичь, минимизировав величину $OM^2$.

Наименьшее возможное значение для расстояния $OM$ равно 0. Это соответствует случаю, когда центр сферы O совпадает с серединой хорды АВ, то есть с точкой M. В этом случае отрезок АВ становится диаметром сферы.

Найдем минимальный радиус, подставив $OM = 0$ в нашу формулу:

$R_{min}^2 = 1 + 0^2 = 1$

$R_{min} = \sqrt{1} = 1$ см.

Таким образом, наименьший радиус имеет сфера, для которой отрезок, соединяющий данные точки, является диаметром.

Ответ: 1 см.