Номер 9.10, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9.10. Радиус сферы равен 3 см. Расстояние от точки до центра сферы равно 5 см. Найдите длину отрезка касательной, проведенной через данную точку к данной сфере.

Обозначим центр сферы как точку $O$, данную точку вне сферы — как точку $A$, и точку касания — как точку $T$.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
1. Радиус сферы $R$. Он равен длине отрезка, соединяющего центр сферы с точкой на ее поверхности, то есть $OT = R = 3$ см.
2. Расстояние от точки $A$ до центра сферы $O$. Оно равно длине отрезка $OA = 5$ см.

Требуется найти длину отрезка касательной, проведенной из точки $A$ к сфере. Этот отрезок — $AT$.

Рассмотрим треугольник, образованный тремя точками: центром сферы $O$, внешней точкой $A$ и точкой касания $T$. Получаем треугольник $\triangle OAT$.

Важным свойством касательной к сфере является то, что радиус, проведенный в точку касания, всегда перпендикулярен касательной. В нашем случае это означает, что радиус $OT$ перпендикулярен касательной $AT$.

Следовательно, угол $\angle OTA$ является прямым, и его величина составляет $90^\circ$. Таким образом, треугольник $\triangle OAT$ является прямоугольным.

В этом прямоугольном треугольнике:
- Катет $OT$ равен радиусу сферы, $OT = 3$ см.
- Катет $AT$ — это искомая длина отрезка касательной.
- Гипотенуза $OA$ — это расстояние от точки до центра сферы, $OA = 5$ см (гипотенуза, так как лежит напротив прямого угла).

Для нахождения длины неизвестного катета $AT$ воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$OT^2 + AT^2 = OA^2$

Подставим в это уравнение известные нам значения:
$3^2 + AT^2 = 5^2$

Выполним вычисления:
$9 + AT^2 = 25$

Теперь выразим $AT^2$ из уравнения:
$AT^2 = 25 - 9$
$AT^2 = 16$

Чтобы найти длину $AT$, извлечем квадратный корень из полученного значения:
$AT = \sqrt{16}$
$AT = 4$ см.

Ответ: 4 см.