Страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9.1. На листе бумаги в клетку изобразите сферу, аналогичную данной на рисунке 9.8. Нарисуйте какие-нибудь параллели и меридианы.

Рис. 9.8

9.1. Для того чтобы изобразить сферу с параллелями и меридианами на листе бумаги в клетку, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Построение сферы:

- Выберите на листе точку $O$ — это будет центр сферы.

- С помощью циркуля или отсчитывая клетки нарисуйте окружность с центром в точке $O$. Радиус можно выбрать, например, 4 клетки. Эта окружность будет являться контуром сферы.

- Проведите вертикальный диаметр через центр $O$. Верхнюю точку на окружности обозначьте $N$ (Северный полюс), а нижнюю — $S$ (Южный полюс). Отрезок $NS$ — это ось вращения сферы.

2. Изображение экватора:

- Экватор — это окружность на сфере, плоскость которой перпендикулярна оси $NS$ и проходит через центр $O$. При изображении в перспективе экватор будет выглядеть как эллипс.

- Горизонтальный диаметр сферы будет большой осью этого эллипса.

- Нарисуйте эллипс. Ту его часть, которая находится на видимой (передней) стороне сферы, изобразите сплошной линией. Часть, находящуюся на невидимой (задней) стороне, — пунктирной линией. Если смотреть на сферу немного сверху, как на рисунке в задании, то передняя часть экватора — это нижняя дуга эллипса.

3. Рисование параллелей:

- Параллели — это окружности на сфере, плоскости которых параллельны плоскости экватора.

- В проекции они также выглядят как эллипсы, но меньшего размера, чем экватор.

- Чтобы нарисовать параллель в Северном полушарии, выберите точку на оси $NS$ между $O$ и $N$. Через эту точку проведите эллипс, параллельный экватору. Как и с экватором, видимую часть нарисуйте сплошной линией, а невидимую — пунктирной.

- Аналогично можно нарисовать параллель в Южном полушарии.

4. Рисование меридианов:

- Меридианы — это полуокружности, соединяющие Северный и Южный полюсы.

- В нашей проекции меридианы будут выглядеть как дуги эллипсов, проходящие через точки $N$ и $S$.

- Один из меридианов (и противоположный ему) уже нарисован — это левая и правая дуги основной окружности, изображающей сферу.

- Чтобы нарисовать другие меридианы на видимой стороне сферы, проведите несколько дуг эллипсов от $N$ до $S$.

Ниже представлен пример такого изображения, выполненного по аналогии с рисунком 9.8, но с добавлением нескольких параллелей и меридианов.

Ответ: Выше приведено подробное описание и графический пример построения сферы с параллелями и меридианами на клетчатой бумаге.

9.2 Какому неравенству удовлетворяют точки $A$, лежащие:

a) внутри шара с центром в точке $O$ и радиусом $R$;

б) вне этого шара?

а) Шар с центром в точке $O$ и радиусом $R$ представляет собой множество всех точек пространства, расстояние от которых до центра $O$ не превышает радиус $R$. Точки, лежащие внутри шара (не включая его поверхность, которая называется сферой), — это те точки, расстояние от которых до центра $O$ строго меньше радиуса $R$. Пусть $A$ — произвольная точка, лежащая внутри шара. Расстояние от точки $A$ до центра $O$ равно длине отрезка $OA$. Следовательно, для любой точки $A$, находящейся внутри шара, выполняется неравенство $OA < R$.
Ответ: $OA < R$

б) Точки, лежащие вне шара, — это все точки пространства, которые не принадлежат этому шару. Расстояние от таких точек до центра шара $O$ строго больше радиуса $R$. Пусть $A$ — произвольная точка, лежащая вне шара. Расстояние от точки $A$ до центра $O$ равно длине отрезка $OA$. Следовательно, для любой точки $A$, находящейся вне шара, выполняется неравенство $OA > R$.
Ответ: $OA > R$

9.3 Радиус сферы равен 4 см. Как расположена данная точка относительно сферы, если расстояние от нее до центра сферы равно:

а) 3 см;

б) 4 см;

в) 5 см?

Для определения положения точки относительно сферы необходимо сравнить расстояние от этой точки до центра сферы, обозначим его как $d$, с радиусом самой сферы, обозначим его как $R$. В условии задачи дан радиус сферы $R = 4$ см.

Возможны три варианта взаимного расположения точки и сферы:

1. Если расстояние от точки до центра сферы меньше радиуса ($d < R$), то точка находится внутри сферы.

2. Если расстояние от точки до центра сферы равно радиусу ($d = R$), то точка лежит на поверхности сферы.

3. Если расстояние от точки до центра сферы больше радиуса ($d > R$), то точка находится вне сферы.

Рассмотрим каждый случай из условия задачи.

а) Расстояние от точки до центра сферы $d = 3$ см.
Сравниваем это расстояние с радиусом сферы: $3$ см < $4$ см.
Так как $d < R$, точка расположена внутри сферы.
Ответ: Точка расположена внутри сферы.

б) Расстояние от точки до центра сферы $d = 4$ см.
Сравниваем это расстояние с радиусом сферы: $4$ см = $4$ см.
Так как $d = R$, точка расположена на поверхности сферы.
Ответ: Точка расположена на сфере.

в) Расстояние от точки до центра сферы $d = 5$ см.
Сравниваем это расстояние с радиусом сферы: $5$ см > $4$ см.
Так как $d > R$, точка расположена вне сферы.
Ответ: Точка расположена вне сферы.

Б) 0 см.

9.4. Сколько диаметров можно провести через центр сферы?

9.4. По определению, диаметр сферы — это отрезок, который соединяет две точки на поверхности сферы и проходит через ее центр. Таким образом, любой диаметр по определению проходит через центр сферы.

Через любую точку в пространстве, включая центр сферы, можно провести бесконечное множество прямых. Каждая из этих прямых, проходящих через центр, пересечет поверхность сферы в двух диаметрально противоположных точках. Отрезок, заключенный между этими двумя точками, является диаметром сферы.

Так как количество прямых, которые можно провести через центр, бесконечно, то и количество соответствующих им диаметров также бесконечно. Каждому направлению в пространстве соответствует один уникальный диаметр.

Ответ: через центр сферы можно провести бесконечное множество диаметров.

9.5. Найдите диаметр сферы, если известно, что он на 55 мм больше радиуса.

9.5. Пусть $r$ — это радиус сферы, а $d$ — её диаметр.
Известно, что диаметр любой сферы в два раза больше её радиуса. Это соотношение можно записать в виде формулы:
$d = 2r$
Согласно условию задачи, диаметр на 55 мм больше радиуса. Это можно выразить следующим уравнением:
$d = r + 55$
Поскольку левые части обоих уравнений равны ($d$), мы можем приравнять их правые части, чтобы составить уравнение с одной переменной $r$:
$2r = r + 55$
Теперь решим это уравнение. Вычтем $r$ из обеих частей уравнения:
$2r - r = 55$
$r = 55$ мм.
Мы нашли радиус сферы. Для нахождения диаметра подставим полученное значение $r$ в одну из первоначальных формул. Воспользуемся формулой $d = 2r$:
$d = 2 \times 55 = 110$ мм.
Таким образом, диаметр сферы равен 110 мм.
Ответ: 110 мм.

9.6. Расстояние между точками А и В равно 2 см. Найдите наименьший возможный радиус сферы, проходящей через эти точки.

9.6. Пусть точки А и В лежат на поверхности сферы. Отрезок АВ, соединяющий эти две точки, является хордой данной сферы. По условию задачи длина этой хорды составляет $AB = 2$ см.

Обозначим радиус сферы как $R$, а ее центр — как точку O. Поскольку точки А и В лежат на сфере, расстояние от центра до каждой из них равно радиусу: $OA = OB = R$.

Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через центр O и точки А, В. В сечении мы получим окружность радиуса $R$, для которой отрезок АВ является хордой. Пусть M — середина хорды АВ. Тогда $AM = \frac{AB}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см. В равнобедренном треугольнике AOB отрезок OM является медианой и высотой, следовательно, треугольник OMA — прямоугольный с прямым углом при вершине M.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику OMA:

$OA^2 = AM^2 + OM^2$

Подставим известные обозначения и значения:

$R^2 = 1^2 + OM^2$

$R^2 = 1 + OM^2$

Из этой формулы видно, что радиус $R$ зависит от расстояния $OM$ от центра сферы до хорды АВ. Чтобы радиус $R$ был наименьшим, значение $R^2$ должно быть минимальным. Этого можно достичь, минимизировав величину $OM^2$.

Наименьшее возможное значение для расстояния $OM$ равно 0. Это соответствует случаю, когда центр сферы O совпадает с серединой хорды АВ, то есть с точкой M. В этом случае отрезок АВ становится диаметром сферы.

Найдем минимальный радиус, подставив $OM = 0$ в нашу формулу:

$R_{min}^2 = 1 + 0^2 = 1$

$R_{min} = \sqrt{1} = 1$ см.

Таким образом, наименьший радиус имеет сфера, для которой отрезок, соединяющий данные точки, является диаметром.

Ответ: 1 см.

9.7 Как расположены относительно друг друга сфера и плоскость, если радиус сферы равен $7 \text{ см}$, а плоскость удалена от ее центра на:
а) $6 \text{ см}$;
б) $7 \text{ см}$;
в) $8 \text{ см}$?

Для определения взаимного расположения сферы и плоскости необходимо сравнить радиус сферы $R$ с расстоянием от ее центра до плоскости $d$. По условию задачи, радиус сферы $R = 7$ см.

а) Дано расстояние от центра сферы до плоскости $d = 6$ см. Сравниваем $d$ и $R$: $6 \text{ см} < 7 \text{ см}$, следовательно, $d < R$. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше ее радиуса, то плоскость пересекает сферу. Линией пересечения является окружность.

Ответ: плоскость и сфера пересекаются по окружности.

б) Дано расстояние от центра сферы до плоскости $d = 7$ см. Сравниваем $d$ и $R$: $7 \text{ см} = 7 \text{ см}$, следовательно, $d = R$. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно ее радиусу, то плоскость и сфера имеют ровно одну общую точку. В этом случае плоскость является касательной к сфере.

Ответ: плоскость касается сферы в одной точке.

в) Дано расстояние от центра сферы до плоскости $d = 8$ см. Сравниваем $d$ и $R$: $8 \text{ см} > 7 \text{ см}$, следовательно, $d > R$. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше ее радиуса, то плоскость и сфера не имеют общих точек.

Ответ: плоскость и сфера не пересекаются.

9.8 Сколько касательных плоскостей можно провести к данной сфере:

а) через точку, принадлежащую сфере;

б) через точку, расположенную внутри сферы;

б) через точку, расположенную вне сферы?

а) через точку, принадлежащую сфере;
Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть точка $A$ принадлежит поверхности сферы. Расстояние от центра до этой точки равно радиусу: $OA = R$.
Касательная плоскость к сфере в данной точке — это плоскость, которая имеет со сферой только одну общую точку. Основное свойство касательной плоскости заключается в том, что она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
В нашем случае касательная плоскость должна проходить через точку $A$ и быть перпендикулярной радиусу $OA$.
Из теоремы стереометрии известно, что через любую точку пространства (точку $A$) можно провести одну и только одну плоскость, перпендикулярную данной прямой (прямой, содержащей отрезок $OA$).
Следовательно, через точку, лежащую на сфере, можно провести ровно одну касательную плоскость.
Ответ: можно провести одну касательную плоскость.

б) через точку, расположенную внутри сферы;
Пусть точка $P$ расположена внутри сферы. Это означает, что расстояние от центра сферы $O$ до точки $P$ меньше радиуса $R$: $OP < R$.
Предположим, что через точку $P$ можно провести касательную плоскость $\alpha$. По определению, расстояние от центра сферы до касательной плоскости равно радиусу $R$.
Однако, поскольку точка $P$ лежит в плоскости $\alpha$, расстояние от центра $O$ до плоскости $\alpha$ не может быть больше расстояния от $O$ до $P$. Пусть $H$ — проекция точки $O$ на плоскость $\alpha$. Тогда расстояние от $O$ до $\alpha$ есть длина перпендикуляра $OH$. В общем случае для любой точки $P$ в плоскости $\alpha$ выполняется неравенство $OH \le OP$.
Так как мы знаем, что $OP < R$, то отсюда следует, что $OH < R$.
Это противоречит условию касания плоскости ($OH = R$). Любая плоскость, проходящая через внутреннюю точку $P$, будет секущей, то есть будет пересекать сферу по окружности.
Следовательно, через точку, расположенную внутри сферы, невозможно провести касательную плоскость.
Ответ: нельзя провести ни одной касательной плоскости (0 плоскостей).

в) через точку, расположенную вне сферы?
Пусть точка $P$ расположена вне сферы. Это означает, что расстояние от центра сферы $O$ до точки $P$ больше радиуса $R$: $OP > R$.
Рассмотрим множество всех точек касания $T$ на сфере для плоскостей, проходящих через точку $P$. Касательная плоскость в точке $T$ перпендикулярна радиусу $OT$. Так как точка $P$ лежит в этой плоскости, то и отрезок $PT$ лежит в ней.
Из того, что радиус $OT$ перпендикулярен касательной плоскости, следует, что $OT$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через $T$, в том числе и прямой $PT$. Таким образом, треугольник $\triangle OPT$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $T$.
Множество всех возможных точек касания $T$ на сфере образует окружность. Эта окружность является линией пересечения данной сферы и другой сферы, диаметром которой служит отрезок $OP$.
Для каждой точки $T$ на этой окружности касания можно провести касательную прямую $PT$ из точки $P$ к сфере. Касательная плоскость к сфере в точке $T$ содержит эту прямую $PT$.
Поскольку окружность касания состоит из бесконечного множества точек, то из точки $P$ можно провести к сфере бесконечное множество касательных прямых. Каждая из этих касательных прямых вместе с точкой $P$ определяет единственную касательную плоскость. Эти плоскости образуют поверхность конуса с вершиной в точке $P$, который касается сферы.
Следовательно, через точку, расположенную вне сферы, можно провести бесконечно много касательных плоскостей.
Ответ: можно провести бесконечно много касательных плоскостей.

9.9. Шар радиусом 5 см пересечен плоскостью, отстоящей от его центра на 3 см. Найдите радиус круга, получившегося в сечении.

9.9. Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора. Представим себе сечение шара, проходящее через его центр и перпендикулярное к секущей плоскости. В этом сечении мы увидим окружность (это сечение шара) и прямую (это сечение плоскости). Расстояние от центра шара до секущей плоскости ($d$), радиус круга, получившегося в сечении ($r$), и радиус самого шара ($R$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенузой является радиус шара $R$, а катетами — расстояние $d$ и радиус сечения $r$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $R^2 = d^2 + r^2$. Из условия задачи нам известно, что радиус шара $R = 5$ см, а расстояние от центра до плоскости $d = 3$ см. Нам необходимо найти радиус круга в сечении, то есть $r$. Выразим $r^2$ из формулы: $r^2 = R^2 - d^2$. Теперь подставим числовые значения: $r^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$. Чтобы найти $r$, извлечем квадратный корень из 16: $r = \sqrt{16} = 4$ см.
Ответ: 4 см.

9.10. Радиус сферы равен 3 см. Расстояние от точки до центра сферы равно 5 см. Найдите длину отрезка касательной, проведенной через данную точку к данной сфере.

Обозначим центр сферы как точку $O$, данную точку вне сферы — как точку $A$, и точку касания — как точку $T$.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
1. Радиус сферы $R$. Он равен длине отрезка, соединяющего центр сферы с точкой на ее поверхности, то есть $OT = R = 3$ см.
2. Расстояние от точки $A$ до центра сферы $O$. Оно равно длине отрезка $OA = 5$ см.

Требуется найти длину отрезка касательной, проведенной из точки $A$ к сфере. Этот отрезок — $AT$.

Рассмотрим треугольник, образованный тремя точками: центром сферы $O$, внешней точкой $A$ и точкой касания $T$. Получаем треугольник $\triangle OAT$.

Важным свойством касательной к сфере является то, что радиус, проведенный в точку касания, всегда перпендикулярен касательной. В нашем случае это означает, что радиус $OT$ перпендикулярен касательной $AT$.

Следовательно, угол $\angle OTA$ является прямым, и его величина составляет $90^\circ$. Таким образом, треугольник $\triangle OAT$ является прямоугольным.

В этом прямоугольном треугольнике:
- Катет $OT$ равен радиусу сферы, $OT = 3$ см.
- Катет $AT$ — это искомая длина отрезка касательной.
- Гипотенуза $OA$ — это расстояние от точки до центра сферы, $OA = 5$ см (гипотенуза, так как лежит напротив прямого угла).

Для нахождения длины неизвестного катета $AT$ воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$OT^2 + AT^2 = OA^2$

Подставим в это уравнение известные нам значения:
$3^2 + AT^2 = 5^2$

Выполним вычисления:
$9 + AT^2 = 25$

Теперь выразим $AT^2$ из уравнения:
$AT^2 = 25 - 9$
$AT^2 = 16$

Чтобы найти длину $AT$, извлечем квадратный корень из полученного значения:
$AT = \sqrt{16}$
$AT = 4$ см.

Ответ: 4 см.

9.11 Как расположены относительно друг друга сфера и прямая, если радиус сферы равен 6 см, а прямая удалена от ее центра на:

а) 5 см;

б) 6 см;

в) 7 см?

Для того чтобы определить взаимное расположение сферы и прямой, необходимо сравнить радиус сферы $R$ с расстоянием от ее центра до прямой $d$. Существуют три возможных случая взаимного расположения:

• Если расстояние от центра до прямой меньше радиуса сферы ($d < R$), то прямая пересекает сферу в двух точках.
• Если расстояние от центра до прямой равно радиусу сферы ($d = R$), то прямая касается сферы в одной точке.
• Если расстояние от центра до прямой больше радиуса сферы ($d > R$), то прямая и сфера не имеют общих точек.

По условию задачи радиус сферы $R = 6$ см. Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

а) Расстояние от центра сферы до прямой $d = 5$ см.
Сравниваем расстояние $d$ с радиусом $R$: $5 \text{ см} < 6 \text{ см}$, то есть $d < R$.
Следовательно, прямая пересекает сферу в двух точках.
Ответ: прямая и сфера пересекаются в двух точках.

б) Расстояние от центра сферы до прямой $d = 6$ см.
Сравниваем расстояние $d$ с радиусом $R$: $6 \text{ см} = 6 \text{ см}$, то есть $d = R$.
Следовательно, прямая имеет со сферой одну общую точку, то есть касается сферы.
Ответ: прямая и сфера касаются в одной точке.

в) Расстояние от центра сферы до прямой $d = 7$ см.
Сравниваем расстояние $d$ с радиусом $R$: $7 \text{ см} > 6 \text{ см}$, то есть $d > R$.
Следовательно, прямая и сфера не имеют общих точек.
Ответ: прямая и сфера не пересекаются.