Страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.22. Ведро имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого 30 см и 20 см, а образующая 30 см. Сколько краски нужно для покраски с обеих сторон такого ведра, если на $1 \text{ м}^2$ поверхности требуется 300 г краски?

Для решения задачи необходимо вычислить полную площадь поверхности ведра, которую нужно покрасить, и затем умножить её на норму расхода краски. Ведро имеет форму усеченного конуса, у которого покраске подлежат боковая поверхность и дно (меньшее основание). Так как покраска производится с обеих сторон (внутренней и внешней), площадь поверхности материала, из которого сделано ведро, нужно удвоить.

1. Найдем радиусы оснований и площадь поверхности с одной стороны.
Исходные данные:
Диаметр большего основания $D = 30$ см, следовательно, радиус $R = \frac{D}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.
Диаметр меньшего основания (дна) $d = 20$ см, следовательно, радиус $r = \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.
Образующая $l = 30$ см.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi(R+r)l$.
$S_{бок} = \pi(15 + 10) \cdot 30 = \pi \cdot 25 \cdot 30 = 750\pi$ см².
Площадь дна ведра (круга) вычисляется по формуле: $S_{дно} = \pi r^2$.
$S_{дно} = \pi \cdot 10^2 = 100\pi$ см².
Площадь поверхности ведра с одной стороны (например, внешней) – это сумма площади боковой поверхности и площади дна:
$S_{1} = S_{бок} + S_{дно} = 750\pi + 100\pi = 850\pi$ см².

2. Найдем общую площадь для покраски и необходимое количество краски.
Общая площадь для покраски с обеих сторон равна удвоенной площади $S_{1}$:
$S_{общ} = 2 \cdot S_{1} = 2 \cdot 850\pi = 1700\pi$ см².
Расход краски дан в граммах на квадратный метр, поэтому переведем площадь в м². Учитывая, что 1 м² = 10000 см²:
$S_{общ} = \frac{1700\pi}{10000} \text{ м}^2 = 0.17\pi$ м².
Теперь рассчитаем массу краски, зная, что на 1 м² требуется 300 г:
$m = S_{общ} \times 300 = 0.17\pi \cdot 300 = 51\pi$ г.
Для получения числового ответа используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$:
$m \approx 51 \cdot 3.14159 \approx 160.22$ г.

Ответ: для покраски ведра с обеих сторон потребуется примерно 160.22 г краски.

8.23 Жестяная воронка имеет размеры (в миллиметрах), указанные на рисунке 8.13. Сколько квадратных дециметров жести затрачено на изготовление воронки (на швы уходит 10% площади поверхности воронки)?

Рис. 8.13

Для решения задачи необходимо вычислить площадь боковой поверхности воронки, которая состоит из двух усеченных конусов, а затем учесть дополнительный расход жести на швы.

1. Расчет площади боковой поверхности верхней части воронки (первый усеченный конус).

Согласно рисунку, размеры верхней части даны в миллиметрах:
- Диаметр верхнего основания: $D_1 = 70$ мм, следовательно, радиус $R_1 = 35$ мм.
- Диаметр нижнего основания: $d_1 = 20$ мм, следовательно, радиус $r_1 = 10$ мм.
- Высота: $h_1 = 50$ мм.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi(R+r)l$, где $l$ — образующая. Найдем образующую $l_1$ по теореме Пифагора:
$l_1 = \sqrt{h_1^2 + (R_1 - r_1)^2} = \sqrt{50^2 + (35 - 10)^2} = \sqrt{2500 + 25^2} = \sqrt{2500 + 625} = \sqrt{3125}$ мм.
$l_1 = \sqrt{625 \cdot 5} = 25\sqrt{5}$ мм.

Теперь вычислим площадь $S_1$:
$S_1 = \pi(R_1 + r_1)l_1 = \pi(35+10) \cdot 25\sqrt{5} = 45 \cdot 25\pi\sqrt{5} = 1125\pi\sqrt{5}$ мм².

2. Расчет площади боковой поверхности нижней части воронки (второй усеченный конус).

Размеры нижней части (в миллиметрах):
- Диаметр верхнего основания: $D_2 = 20$ мм, следовательно, радиус $R_2 = 10$ мм.
- Диаметр нижнего основания: $d_2 = 10$ мм, следовательно, радиус $r_2 = 5$ мм.
- Высота: $h_2 = 90 - 50 = 40$ мм.

Найдем образующую $l_2$:
$l_2 = \sqrt{h_2^2 + (R_2 - r_2)^2} = \sqrt{40^2 + (10 - 5)^2} = \sqrt{1600 + 5^2} = \sqrt{1600 + 25} = \sqrt{1625}$ мм.
$l_2 = \sqrt{25 \cdot 65} = 5\sqrt{65}$ мм.

Вычислим площадь $S_2$:
$S_2 = \pi(R_2 + r_2)l_2 = \pi(10+5) \cdot 5\sqrt{65} = 15 \cdot 5\pi\sqrt{65} = 75\pi\sqrt{65}$ мм².

3. Расчет общей площади жести.

Общая площадь поверхности воронки $S_{воронки}$ равна сумме площадей ее частей:
$S_{воронки} = S_1 + S_2 = 1125\pi\sqrt{5} + 75\pi\sqrt{65}$ мм².
Вычислим приближенное значение ($\pi \approx 3.1416$, $\sqrt{5} \approx 2.2361$, $\sqrt{65} \approx 8.0623$):
$S_{воронки} \approx 1125 \cdot 3.1416 \cdot 2.2361 + 75 \cdot 3.1416 \cdot 8.0623 \approx 7901.8 + 1900.5 \approx 9802.3$ мм².

На швы уходит 10% площади поверхности, поэтому общая площадь затраченной жести $S_{общая}$ будет на 10% больше:
$S_{общая} = S_{воронки} \times (1 + 0.10) = S_{воронки} \times 1.1 \approx 9802.3 \times 1.1 \approx 10782.53$ мм².

4. Перевод в квадратные дециметры.

Поскольку 1 дм = 100 мм, то 1 дм² = $100^2$ мм² = 10000 мм².
$S_{общая} (в \ дм^2) = \frac{10782.53}{10000} \approx 1.078$ дм².
Округляя результат до сотых, получаем $1.08$ дм².

Ответ: $1.08$ дм².

8.24. Какие размеры имеет развертка боковой поверхности ведра, если диаметры его оснований 28 см и 20 см, а высота 24 см? Сколько квадратных дециметров материала нужно затратить на изготовление этого ведра (без учета расхода на швы)?

Какие размеры имеет развертка боковой поверхности ведра

Ведро представляет собой усеченный конус. Его развертка боковой поверхности является сектором кольца. Для определения размеров этой развертки нам нужно найти ее радиусы и длину дуг.

Исходные данные:
Диаметр большего основания: $D = 28$ см, следовательно, радиус $R = D/2 = 14$ см.
Диаметр меньшего основания: $d = 20$ см, следовательно, радиус $r = d/2 = 10$ см.
Высота ведра: $h = 24$ см.

1. Найдем образующую $l$ усеченного конуса (ширину сектора кольца). Она является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого служат высота $h$ и разность радиусов $R-r$. По теореме Пифагора:
$l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2} = \sqrt{24^2 + (14-10)^2} = \sqrt{576 + 4^2} = \sqrt{576 + 16} = \sqrt{592}$ см.
Упростим корень: $\sqrt{592} = \sqrt{16 \cdot 37} = 4\sqrt{37}$ см.
Приближенное значение: $l \approx 4 \cdot 6.083 \approx 24.33$ см.

2. Развертка представляет собой часть кольца, ограниченного дугами двух окружностей. Найдем радиусы этих окружностей ($L_{больший}$ и $L_{меньший}$). Они являются образующими полного конуса, из которого получен усеченный, и малого конуса, который был отсечен.
Используем подобие треугольников в осевом сечении конуса:
$\frac{L_{меньший}}{r} = \frac{L_{больший}}{R} = \frac{l}{R-r}$
$L_{больший} = \frac{l \cdot R}{R-r} = \frac{4\sqrt{37} \cdot 14}{14-10} = \frac{4\sqrt{37} \cdot 14}{4} = 14\sqrt{37}$ см.
$L_{меньший} = \frac{l \cdot r}{R-r} = \frac{4\sqrt{37} \cdot 10}{14-10} = \frac{4\sqrt{37} \cdot 10}{4} = 10\sqrt{37}$ см.

3. Длины дуг развертки равны длинам окружностей оснований ведра:
Длина большей дуги: $C_{большая} = 2\pi R = 2\pi \cdot 14 = 28\pi$ см.
Длина меньшей дуги: $C_{меньшая} = 2\pi r = 2\pi \cdot 10 = 20\pi$ см.

Ответ: Развертка боковой поверхности представляет собой сектор кольца с внешним радиусом $14\sqrt{37}$ см, внутренним радиусом $10\sqrt{37}$ см и шириной (образующей) $4\sqrt{37}$ см. Длины дуг, ограничивающих сектор, равны $28\pi$ см и $20\pi$ см.

Сколько квадратных дециметров материала нужно затратить на изготовление этого ведра

Общее количество материала — это сумма площади боковой поверхности ведра и площади его дна (меньшего основания).

1. Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) усеченного конуса вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \pi(R+r)l$
$S_{бок} = \pi(14+10)(4\sqrt{37}) = \pi \cdot 24 \cdot 4\sqrt{37} = 96\pi\sqrt{37}$ см².

2. Площадь дна ($S_{дна}$) — это площадь круга с радиусом $r = 10$ см:
$S_{дна} = \pi r^2 = \pi \cdot 10^2 = 100\pi$ см².

3. Общая площадь материала ($S_{общ}$):
$S_{общ} = S_{бок} + S_{дна} = 96\pi\sqrt{37} + 100\pi = \pi(96\sqrt{37} + 100)$ см².

4. Вычислим приближенное значение и переведем в квадратные дециметры (1 дм² = 100 см²). Используем $\pi \approx 3.1416$ и $\sqrt{37} \approx 6.0828$:
$S_{общ} \approx 3.1416 \cdot (96 \cdot 6.0828 + 100) = 3.1416 \cdot (583.9488 + 100) = 3.1416 \cdot 683.9488 \approx 2148.7$ см².
Переведем в квадратные дециметры:
$S_{общ} = \frac{2148.7}{100} \approx 21.49$ дм².

Ответ: На изготовление ведра нужно затратить примерно 21.49 дм² материала.

8.25. Повторите определения окружности, круга и их элементов, определение касательной прямой к окружности и случаи взаимного расположения окружности и прямой.

Определения окружности, круга и их элементов

Окружность — это геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от одной заданной точки, называемой центром.

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая в себя саму окружность. Иными словами, это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра не превышает радиуса.

К основным элементам окружности и круга относятся:
- Центр — точка, от которой равноудалены все точки окружности.
- Радиус ($r$) — отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности. Также этим термином обозначают длину этого отрезка.
- Хорда — отрезок, соединяющий две любые точки на окружности.
- Диаметр ($d$) — хорда, проходящая через центр окружности. Длина диаметра равна двум радиусам: $d = 2r$.
- Дуга — любая из двух частей, на которые окружность делится двумя ее точками.
- Сектор — часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
- Сегмент — часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Ответ: Окружность – множество точек, равноудаленных от центра; круг – часть плоскости, ограниченная окружностью. Элементы: центр, радиус, диаметр, хорда, дуга, сектор, сегмент.

Определение касательной прямой к окружности

Касательная к окружности — это прямая, лежащая в одной плоскости с окружностью и имеющая с ней только одну общую точку. Эта точка называется точкой касания.

Основное свойство касательной: Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Признак касательной: Если прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Ответ: Касательная — это прямая, имеющая с окружностью одну общую точку; она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Случаи взаимного расположения окружности и прямой

Взаимное расположение окружности радиуса $r$ и прямой зависит от расстояния $d$ от центра окружности до этой прямой. Существует три возможных случая:

1. Прямая и окружность пересекаются в двух точках.
Это происходит, когда расстояние от центра до прямой меньше радиуса окружности. Такая прямая называется секущей.
Условие: $d < r$.

2. Прямая и окружность имеют одну общую точку.
Это происходит, когда расстояние от центра до прямой равно радиусу окружности. Такая прямая является касательной.
Условие: $d = r$.

3. Прямая и окружность не имеют общих точек.
Это происходит, когда расстояние от центра до прямой больше радиуса окружности.
Условие: $d > r$.

Ответ: Существует три случая взаимного расположения прямой и окружности, которые определяются соотношением между радиусом $r$ и расстоянием $d$ от центра до прямой: прямая пересекает окружность ($d < r$), касается окружности ($d = r$) или не имеет с ней общих точек ($d > r$).