Номер 8.22, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.22. Ведро имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого 30 см и 20 см, а образующая 30 см. Сколько краски нужно для покраски с обеих сторон такого ведра, если на $1 \text{ м}^2$ поверхности требуется 300 г краски?

Для решения задачи необходимо вычислить полную площадь поверхности ведра, которую нужно покрасить, и затем умножить её на норму расхода краски. Ведро имеет форму усеченного конуса, у которого покраске подлежат боковая поверхность и дно (меньшее основание). Так как покраска производится с обеих сторон (внутренней и внешней), площадь поверхности материала, из которого сделано ведро, нужно удвоить.

1. Найдем радиусы оснований и площадь поверхности с одной стороны.
Исходные данные:
Диаметр большего основания $D = 30$ см, следовательно, радиус $R = \frac{D}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.
Диаметр меньшего основания (дна) $d = 20$ см, следовательно, радиус $r = \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.
Образующая $l = 30$ см.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi(R+r)l$.
$S_{бок} = \pi(15 + 10) \cdot 30 = \pi \cdot 25 \cdot 30 = 750\pi$ см².
Площадь дна ведра (круга) вычисляется по формуле: $S_{дно} = \pi r^2$.
$S_{дно} = \pi \cdot 10^2 = 100\pi$ см².
Площадь поверхности ведра с одной стороны (например, внешней) – это сумма площади боковой поверхности и площади дна:
$S_{1} = S_{бок} + S_{дно} = 750\pi + 100\pi = 850\pi$ см².

2. Найдем общую площадь для покраски и необходимое количество краски.
Общая площадь для покраски с обеих сторон равна удвоенной площади $S_{1}$:
$S_{общ} = 2 \cdot S_{1} = 2 \cdot 850\pi = 1700\pi$ см².
Расход краски дан в граммах на квадратный метр, поэтому переведем площадь в м². Учитывая, что 1 м² = 10000 см²:
$S_{общ} = \frac{1700\pi}{10000} \text{ м}^2 = 0.17\pi$ м².
Теперь рассчитаем массу краски, зная, что на 1 м² требуется 300 г:
$m = S_{общ} \times 300 = 0.17\pi \cdot 300 = 51\pi$ г.
Для получения числового ответа используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$:
$m \approx 51 \cdot 3.14159 \approx 160.22$ г.

Ответ: для покраски ведра с обеих сторон потребуется примерно 160.22 г краски.