Номер 8.16, страница 57 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.16 В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 4 см и 2 см, а боковые ребра равны 3 см. Найдите площадь поверхности вращения этой пирамиды вокруг прямой, проходящей через центры оснований (рис. 8.8).

Рис. 8.8

Тело, полученное в результате вращения усеченной пирамиды вокруг оси, проходящей через центры ее оснований, представляет собой полый объект. Его полная поверхность состоит из четырех частей:
1. Площадь верхнего кольца, образованного вращением верхнего основания.
2. Площадь нижнего кольца, образованного вращением нижнего основания.
3. Площадь внешней боковой поверхности, образованной вращением боковых ребер пирамиды.
4. Площадь внутренней боковой поверхности, образованной вращением апофем (высот) боковых граней.

1. Нахождение радиусов

Основаниями пирамиды являются квадраты со сторонами $a = 4$ см (нижнее) и $a_1 = 2$ см (верхнее). Ось вращения проходит через их центры.
Внешние радиусы вращения ($R$ и $R_1$) равны половинам диагоналей квадратов оснований (расстояние от центра до вершины).
Внешний радиус нижнего основания: $R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.
Внешний радиус верхнего основания: $R_1 = \frac{a_1\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.
Внутренние радиусы вращения ($r$ и $r_1$) равны половинам сторон квадратов оснований (расстояние от центра до середины стороны).
Внутренний радиус нижнего основания: $r = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.
Внутренний радиус верхнего основания: $r_1 = \frac{a_1}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

2. Нахождение образующих боковых поверхностей

Образующей для внешней боковой поверхности является боковое ребро пирамиды. По условию его длина $l = 3$ см.
Образующей для внутренней боковой поверхности является апофема боковой грани (высота трапеции, являющейся боковой гранью). Обозначим ее $h_s$.
Боковая грань — это равнобедренная трапеция с основаниями $a=4$ см, $a_1=2$ см и боковыми сторонами $l=3$ см. Высоту этой трапеции найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, где гипотенуза — боковое ребро, один катет — высота $h_s$, а второй катет — полуразность оснований трапеции.
$h_s = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a - a_1}{2}\right)^2} = \sqrt{3^2 - \left(\frac{4 - 2}{2}\right)^2} = \sqrt{9 - 1^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

3. Расчет площадей поверхностей

Теперь вычислим площади каждой из четырех частей поверхности вращения.
Площадь нижнего кольца ($S_{нижн}$):
$S_{нижн} = \pi (R^2 - r^2) = \pi((2\sqrt{2})^2 - 2^2) = \pi(8 - 4) = 4\pi$ см².
Площадь верхнего кольца ($S_{верхн}$):
$S_{верхн} = \pi (R_1^2 - r_1^2) = \pi((\sqrt{2})^2 - 1^2) = \pi(2 - 1) = \pi$ см².
Внешняя боковая поверхность представляет собой боковую поверхность усеченного конуса с радиусами оснований $R$, $R_1$ и образующей $l$. Ее площадь ($S_{внешн}$):
$S_{внешн} = \pi(R + R_1)l = \pi(2\sqrt{2} + \sqrt{2}) \cdot 3 = \pi \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3 = 9\sqrt{2}\pi$ см².
Внутренняя боковая поверхность представляет собой боковую поверхность усеченного конуса с радиусами оснований $r$, $r_1$ и образующей $h_s$. Ее площадь ($S_{внутр}$):
$S_{внутр} = \pi(r + r_1)h_s = \pi(2 + 1) \cdot 2\sqrt{2} = 3 \pi \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\pi$ см².

4. Общая площадь поверхности вращения

Полная площадь поверхности вращения равна сумме площадей всех ее частей:
$S_{общ} = S_{нижн} + S_{верхн} + S_{внешн} + S_{внутр}$
$S_{общ} = 4\pi + \pi + 9\sqrt{2}\pi + 6\sqrt{2}\pi = 5\pi + 15\sqrt{2}\pi = (5 + 15\sqrt{2})\pi$ см².

Ответ: $(5 + 15\sqrt{2})\pi$ см².