Номер 8.14, страница 56 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.14. Основания равнобедренной трапеции равны 1 см и 2 см, боковые стороны равны 2 см. Найдите площадь поверхности вращения этой трапеции, вокруг прямой, проходящей через середины оснований.

При вращении равнобедренной трапеции вокруг прямой, проходящей через середины ее оснований, образуется тело вращения — усеченный конус. Ось вращения совпадает с осью симметрии трапеции и осью усеченного конуса. Площадь поверхности вращения этой трапеции представляет собой полную площадь поверхности полученного усеченного конуса. Она состоит из площадей двух оснований (кругов) и площади боковой поверхности.

По условию задачи нам даны:
Длина большего основания трапеции $a = 2$ см.
Длина меньшего основания трапеции $b = 1$ см.
Длина боковой стороны трапеции $l = 2$ см. Эта величина является образующей усеченного конуса.

Радиусы оснований усеченного конуса равны половинам длин соответствующих оснований трапеции:
Радиус большего основания: $R = \frac{a}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.
Радиус меньшего основания: $r = \frac{b}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ см.

Полная площадь поверхности усеченного конуса ($S_{полн}$) вычисляется по формуле:
$S_{полн} = S_{бок} + S_{R} + S_{r}$
где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, $S_{R}$ — площадь большего основания, а $S_{r}$ — площадь меньшего основания.

Найдем каждую из этих площадей:
1. Площадь большего основания (круга с радиусом $R$):
$S_{R} = \pi R^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см$^2$.

2. Площадь меньшего основания (круга с радиусом $r$):
$S_{r} = \pi r^2 = \pi \cdot (0.5)^2 = 0.25\pi$ см$^2$.

3. Площадь боковой поверхности усеченного конуса:
$S_{бок} = \pi(R+r)l$
Подставляем известные значения:
$S_{бок} = \pi(1 + 0.5) \cdot 2 = \pi \cdot 1.5 \cdot 2 = 3\pi$ см$^2$.

4. Общая площадь поверхности вращения:
Теперь сложим все полученные площади, чтобы найти полную площадь поверхности:
$S_{полн} = S_{R} + S_{r} + S_{бок} = \pi + 0.25\pi + 3\pi = 4.25\pi$ см$^2$.
Результат можно представить в виде обыкновенной дроби: $4.25\pi = \frac{17}{4}\pi$ см$^2$.

Ответ: $\frac{17}{4}\pi$ см$^2$.