Номер 8.20, страница 57 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.20. Какая фигура получится при вращении правильного шестиугольника вокруг прямой, проходящей через середины его противолежащих сторон (рис. 8.11)? Найдите площадь поверхности этой фигуры, если стороны шестиугольника равны 1 см.

Рис. 8.11

Какая фигура получится при вращении правильного шестиугольника вокруг прямой, проходящей через середины его противолежащих сторон?

При вращении правильного шестиугольника вокруг прямой, проходящей через середины двух его противолежащих сторон, образуется тело вращения. Осевое сечение этого тела представляет собой исходный правильный шестиугольник.

Тело можно описать как состоящее из двух одинаковых усеченных конусов, соединенных по своим большим основаниям. Верхняя и нижняя поверхности этого тела являются плоскими кругами.

Ответ: Фигура, полученная при вращении, представляет собой тело, состоящее из двух одинаковых усеченных конусов, соединенных по большим основаниям, и ограниченное сверху и снизу кругами.

Найдите площадь поверхности этой фигуры, если стороны шестиугольника равны 1 см.

Обоснование: Площадь поверхности тела вращения, образованного ломаной, равна сумме площадей боковых поверхностей усеченных конусов, образуемых каждой стороной. По формуле: $S = \pi \cdot \sum (r_i + r_{i+1}) \cdot l$, где $l=1$ (длина стороны), а $r$ — расстояния от вершин до оси вращения.

Для правильного шестиугольника со стороной $a=1$, вращающегося вокруг оси, проходящей через середины сторон:

• Две вершины находятся на расстоянии $r_1 = 0,5$ см от оси.
• Четыре вершины находятся на расстоянии $r_2 = 1$ см от оси (если считать от центра).
• Корректный расчет расстояний от вершин до оси: если ось проходит через середины сторон, то вершины удалены от неё на: $\sin(30^\circ)=0,5$ (для 4-х вершин) и $\sin(90^\circ)=1$ (для 2-х вершин) — при условии радиуса описанной окружности $R=1$.
• Суммируя вклады всех 6 сторон: $S = \pi \cdot [ (0,5+1) + (1+0,5) + (0,5+0,5) + (0,5+1) + (1+0,5) + (0,5+0,5) ] \cdot 1$.
• $S = \pi \cdot (1,5 + 1,5 + 1 + 1,5 + 1,5 + 1) = 8\pi$.

Ответ: Площадь поверхности равна $8\pi$ см² (примерно $25,13$ см²).