Задания, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

a) $\alpha$, $O_1$, $O$

б) $\alpha$, $O_1$, $O$

в) $\alpha$, $O_1$, $O$, $A$

Рис. 9.4

Для доказательства используем метод от противного.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть плоскость $\alpha$ касается сферы в точке $A$. По определению, касательная плоскость имеет со сферой ровно одну общую точку. Следовательно, точка $A$ — единственная общая точка плоскости $\alpha$ и сферы. Нам необходимо доказать, что радиус $OA$, проведенный в точку касания, перпендикулярен плоскости $\alpha$, то есть $OA \perp \alpha$.

Предположим обратное: радиус $OA$ не перпендикулярен касательной плоскости $\alpha$.

Если прямая $OA$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$, то отрезок $OA$ является наклонной, проведенной из точки $O$ к плоскости $\alpha$. В таком случае расстояние от центра сферы, точки $O$, до плоскости $\alpha$ равно длине перпендикуляра $OH$, опущенного из точки $O$ на плоскость $\alpha$. Точка $H$ — это основание перпендикуляра, и она лежит в плоскости $\alpha$. Поскольку $OA$ — наклонная, а $OH$ — перпендикуляр, то точки $A$ и $H$ не совпадают ($A \neq H$).

Рассмотрим треугольник $\triangle OHA$. Так как $OH \perp \alpha$, то прямая $OH$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$, в том числе и прямой $HA$. Это означает, что $\triangle OHA$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle OHA = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катета. В $\triangle OHA$ гипотенузой является отрезок $OA$ (как сторона, лежащая напротив прямого угла), а $OH$ — катет. Следовательно, должно выполняться неравенство $OA > OH$.

Точка $A$ является точкой касания и, значит, лежит на сфере. Расстояние от любой точки сферы до ее центра равно радиусу. Таким образом, $OA = R$. Подставив это в наше неравенство, получаем $R > OH$ или $OH < R$.

Мы пришли к выводу, что расстояние от центра сферы $O$ до плоскости $\alpha$ (равное $OH$) меньше радиуса сферы $R$. Согласно теореме о взаимном расположении сферы и плоскости, если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса, то плоскость пересекает сферу, а их пересечением является окружность. Это значит, что плоскость $\alpha$ и сфера имеют бесконечное множество общих точек.

Это заключение противоречит первоначальному условию, согласно которому плоскость $\alpha$ является касательной и имеет со сферой только одну общую точку $A$.

Противоречие возникло из-за нашего неверного предположения о том, что $OA$ не перпендикулярен $\alpha$. Следовательно, это предположение ложно, а истинным является утверждение, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.