Номер 8.23, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.23 Жестяная воронка имеет размеры (в миллиметрах), указанные на рисунке 8.13. Сколько квадратных дециметров жести затрачено на изготовление воронки (на швы уходит 10% площади поверхности воронки)?

Рис. 8.13

Для решения задачи необходимо вычислить площадь боковой поверхности воронки, которая состоит из двух усеченных конусов, а затем учесть дополнительный расход жести на швы.

1. Расчет площади боковой поверхности верхней части воронки (первый усеченный конус).

Согласно рисунку, размеры верхней части даны в миллиметрах:
- Диаметр верхнего основания: $D_1 = 70$ мм, следовательно, радиус $R_1 = 35$ мм.
- Диаметр нижнего основания: $d_1 = 20$ мм, следовательно, радиус $r_1 = 10$ мм.
- Высота: $h_1 = 50$ мм.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi(R+r)l$, где $l$ — образующая. Найдем образующую $l_1$ по теореме Пифагора:
$l_1 = \sqrt{h_1^2 + (R_1 - r_1)^2} = \sqrt{50^2 + (35 - 10)^2} = \sqrt{2500 + 25^2} = \sqrt{2500 + 625} = \sqrt{3125}$ мм.
$l_1 = \sqrt{625 \cdot 5} = 25\sqrt{5}$ мм.

Теперь вычислим площадь $S_1$:
$S_1 = \pi(R_1 + r_1)l_1 = \pi(35+10) \cdot 25\sqrt{5} = 45 \cdot 25\pi\sqrt{5} = 1125\pi\sqrt{5}$ мм².

2. Расчет площади боковой поверхности нижней части воронки (второй усеченный конус).

Размеры нижней части (в миллиметрах):
- Диаметр верхнего основания: $D_2 = 20$ мм, следовательно, радиус $R_2 = 10$ мм.
- Диаметр нижнего основания: $d_2 = 10$ мм, следовательно, радиус $r_2 = 5$ мм.
- Высота: $h_2 = 90 - 50 = 40$ мм.

Найдем образующую $l_2$:
$l_2 = \sqrt{h_2^2 + (R_2 - r_2)^2} = \sqrt{40^2 + (10 - 5)^2} = \sqrt{1600 + 5^2} = \sqrt{1600 + 25} = \sqrt{1625}$ мм.
$l_2 = \sqrt{25 \cdot 65} = 5\sqrt{65}$ мм.

Вычислим площадь $S_2$:
$S_2 = \pi(R_2 + r_2)l_2 = \pi(10+5) \cdot 5\sqrt{65} = 15 \cdot 5\pi\sqrt{65} = 75\pi\sqrt{65}$ мм².

3. Расчет общей площади жести.

Общая площадь поверхности воронки $S_{воронки}$ равна сумме площадей ее частей:
$S_{воронки} = S_1 + S_2 = 1125\pi\sqrt{5} + 75\pi\sqrt{65}$ мм².
Вычислим приближенное значение ($\pi \approx 3.1416$, $\sqrt{5} \approx 2.2361$, $\sqrt{65} \approx 8.0623$):
$S_{воронки} \approx 1125 \cdot 3.1416 \cdot 2.2361 + 75 \cdot 3.1416 \cdot 8.0623 \approx 7901.8 + 1900.5 \approx 9802.3$ мм².

На швы уходит 10% площади поверхности, поэтому общая площадь затраченной жести $S_{общая}$ будет на 10% больше:
$S_{общая} = S_{воронки} \times (1 + 0.10) = S_{воронки} \times 1.1 \approx 9802.3 \times 1.1 \approx 10782.53$ мм².

4. Перевод в квадратные дециметры.

Поскольку 1 дм = 100 мм, то 1 дм² = $100^2$ мм² = 10000 мм².
$S_{общая} (в \ дм^2) = \frac{10782.53}{10000} \approx 1.078$ дм².
Округляя результат до сотых, получаем $1.08$ дм².

Ответ: $1.08$ дм².