Номер 8.18, страница 57 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.18. В правильной шестиугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 2 см и 1 см, боковые ребра равны 3 см. Найдите площадь поверхности вращения этой пирамиды вокруг прямой, проходящей через центры оснований (рис. 8.9).

Рис. 8.10

Рис. 8.9

Для нахождения площади поверхности вращения усеченной пирамиды вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований, необходимо определить, какие геометрические фигуры образуют эту поверхность. Тело вращения, полученное при вращении правильной усеченной пирамиды вокруг своей оси, состоит из трех частей:

• Нижнее основание — круг.
• Верхнее основание — круг.
• Боковая поверхность — боковая поверхность усеченного конуса.

Площадь полной поверхности тела вращения будет суммой площадей этих трех частей.

1. Найдем радиусы оснований тела вращения.

Поверхность вращения образуется при вращении контура пирамиды. Радиусы оснований тела вращения равны расстояниям от центра оснований пирамиды до ее вершин, так как вершины являются наиболее удаленными от оси вращения точками.

В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны этого шестиугольника.

Сторона нижнего (большего) основания пирамиды равна $a = 2$ см. Следовательно, радиус нижнего основания тела вращения равен $R = a = 2$ см.

Сторона верхнего (меньшего) основания пирамиды равна $a_1 = 1$ см. Следовательно, радиус верхнего основания тела вращения равен $R_1 = a_1 = 1$ см.

2. Найдем площади оснований тела вращения.

Основаниями тела вращения являются круги. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.

Площадь нижнего основания:

$S_{нижн} = \pi R^2 = \pi \cdot (2)^2 = 4\pi$ см$^2$.

Площадь верхнего основания:

$S_{верхн} = \pi R_1^2 = \pi \cdot (1)^2 = \pi$ см$^2$.

3. Найдем площадь боковой поверхности тела вращения.

Боковая поверхность тела вращения образуется вращением бокового ребра пирамиды вокруг оси. Эта поверхность является боковой поверхностью усеченного конуса.

Радиусы оснований этого усеченного конуса равны $R = 2$ см и $R_1 = 1$ см. Образующая усеченного конуса $L$ равна длине бокового ребра пирамиды, которая по условию составляет $l = 3$ см.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi (R + R_1) L$.

Подставим наши значения:

$S_{бок} = \pi (2 + 1) \cdot 3 = \pi \cdot 3 \cdot 3 = 9\pi$ см$^2$.

4. Найдем полную площадь поверхности вращения.

Полная площадь поверхности вращения $S_{полн}$ равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{нижн} + S_{верхн} + S_{бок}$

$S_{полн} = 4\pi + \pi + 9\pi = 14\pi$ см$^2$.

Ответ: $14\pi$ см$^2$.