Страница 57 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.15 Какая фигура получится при вращении правильной четырех-угольной усеченной пирамиды вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований (рис. 8.8)?

$A_1, B_1, C_1, D_1, A, B, C, D, a$

Рис. 8.8

Фигура, которая образуется при вращении пространственного тела вокруг оси, называется телом вращения. Чтобы определить форму этого тела, достаточно рассмотреть плоскую фигуру, являющуюся сечением исходного тела плоскостью, проходящей через ось вращения, и повернуть эту плоскую фигуру вокруг оси.

В данном случае исходное тело — это правильная четырехугольная усеченная пирамида. Ее основаниями являются два квадрата, лежащие в параллельных плоскостях. Ось вращения — это прямая, проходящая через центры этих квадратов. Эта прямая также является осью симметрии пирамиды.

Рассмотрим сечение усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через ось вращения. Так как тело вращения будет ограничено поверхностью, образованной вращением наиболее удаленных от оси точек исходного тела, следует рассмотреть сечение, проходящее через противоположные вершины оснований, то есть через диагонали. Такое сечение представляет собой равнобокую трапецию. Основаниями этой трапеции служат диагонали квадратов-оснований пирамиды, а боковыми сторонами — боковые ребра пирамиды. Ось вращения пирамиды является осью симметрии для этой трапеции.

При вращении равнобокой трапеции вокруг ее оси симметрии образуется усеченный конус. Основания пирамиды (квадраты) при вращении образуют круги, которые являются основаниями усеченного конуса. Боковая поверхность усеченной пирамиды при вращении образует боковую поверхность усеченного конуса. Высота полученного конуса равна высоте исходной усеченной пирамиды.

Ответ: усеченный конус.

8.16 В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 4 см и 2 см, а боковые ребра равны 3 см. Найдите площадь поверхности вращения этой пирамиды вокруг прямой, проходящей через центры оснований (рис. 8.8).

Рис. 8.8

Тело, полученное в результате вращения усеченной пирамиды вокруг оси, проходящей через центры ее оснований, представляет собой полый объект. Его полная поверхность состоит из четырех частей:
1. Площадь верхнего кольца, образованного вращением верхнего основания.
2. Площадь нижнего кольца, образованного вращением нижнего основания.
3. Площадь внешней боковой поверхности, образованной вращением боковых ребер пирамиды.
4. Площадь внутренней боковой поверхности, образованной вращением апофем (высот) боковых граней.

1. Нахождение радиусов

Основаниями пирамиды являются квадраты со сторонами $a = 4$ см (нижнее) и $a_1 = 2$ см (верхнее). Ось вращения проходит через их центры.
Внешние радиусы вращения ($R$ и $R_1$) равны половинам диагоналей квадратов оснований (расстояние от центра до вершины).
Внешний радиус нижнего основания: $R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.
Внешний радиус верхнего основания: $R_1 = \frac{a_1\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.
Внутренние радиусы вращения ($r$ и $r_1$) равны половинам сторон квадратов оснований (расстояние от центра до середины стороны).
Внутренний радиус нижнего основания: $r = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.
Внутренний радиус верхнего основания: $r_1 = \frac{a_1}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

2. Нахождение образующих боковых поверхностей

Образующей для внешней боковой поверхности является боковое ребро пирамиды. По условию его длина $l = 3$ см.
Образующей для внутренней боковой поверхности является апофема боковой грани (высота трапеции, являющейся боковой гранью). Обозначим ее $h_s$.
Боковая грань — это равнобедренная трапеция с основаниями $a=4$ см, $a_1=2$ см и боковыми сторонами $l=3$ см. Высоту этой трапеции найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, где гипотенуза — боковое ребро, один катет — высота $h_s$, а второй катет — полуразность оснований трапеции.
$h_s = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a - a_1}{2}\right)^2} = \sqrt{3^2 - \left(\frac{4 - 2}{2}\right)^2} = \sqrt{9 - 1^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

3. Расчет площадей поверхностей

Теперь вычислим площади каждой из четырех частей поверхности вращения.
Площадь нижнего кольца ($S_{нижн}$):
$S_{нижн} = \pi (R^2 - r^2) = \pi((2\sqrt{2})^2 - 2^2) = \pi(8 - 4) = 4\pi$ см².
Площадь верхнего кольца ($S_{верхн}$):
$S_{верхн} = \pi (R_1^2 - r_1^2) = \pi((\sqrt{2})^2 - 1^2) = \pi(2 - 1) = \pi$ см².
Внешняя боковая поверхность представляет собой боковую поверхность усеченного конуса с радиусами оснований $R$, $R_1$ и образующей $l$. Ее площадь ($S_{внешн}$):
$S_{внешн} = \pi(R + R_1)l = \pi(2\sqrt{2} + \sqrt{2}) \cdot 3 = \pi \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3 = 9\sqrt{2}\pi$ см².
Внутренняя боковая поверхность представляет собой боковую поверхность усеченного конуса с радиусами оснований $r$, $r_1$ и образующей $h_s$. Ее площадь ($S_{внутр}$):
$S_{внутр} = \pi(r + r_1)h_s = \pi(2 + 1) \cdot 2\sqrt{2} = 3 \pi \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\pi$ см².

4. Общая площадь поверхности вращения

Полная площадь поверхности вращения равна сумме площадей всех ее частей:
$S_{общ} = S_{нижн} + S_{верхн} + S_{внешн} + S_{внутр}$
$S_{общ} = 4\pi + \pi + 9\sqrt{2}\pi + 6\sqrt{2}\pi = 5\pi + 15\sqrt{2}\pi = (5 + 15\sqrt{2})\pi$ см².

Ответ: $(5 + 15\sqrt{2})\pi$ см².

8.17. Какая фигура получится при вращении правильной шестиугольной усеченной пирамиды вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований (рис. 8.9)?

$a$

$E_1$

$D_1$

$C_1$

$F_1$

$A_1$

$B_1$

$E$

$D$

$C$

$F$

$A$

$B$

Рис. 8.9

Тело, которое получится в результате вращения, является телом вращения. Чтобы определить его форму, рассмотрим осевое сечение исходной фигуры — правильной шестиугольной усеченной пирамиды. Осевое сечение — это сечение плоскостью, проходящей через ось вращения. В данном случае ось вращения — это прямая a, проходящая через центры оснований пирамиды.

Так как пирамида правильная, ее основания — правильные шестиугольники, а ось a перпендикулярна плоскостям оснований. Выберем для сечения плоскость, которая проходит через две противоположные вершины нижнего основания (например, A и D) и соответствующие им противоположные вершины верхнего основания (A₁ и D₁).

В результате такого сечения мы получим равнобокую трапецию. Основаниями этой трапеции будут диагонали AD и A₁D₁ шестиугольников, а боковыми сторонами — боковые ребра пирамиды AA₁ и DD₁. Прямая a будет являться осью симметрии этой трапеции, так как она соединяет середины ее оснований.

Теперь рассмотрим вращение этой равнобокой трапеции вокруг ее оси симметрии a:

• Верхнее и нижнее основания трапеции при вращении образуют два параллельных круга. Радиусы этих кругов равны половинам длин оснований трапеции. Эти круги будут основаниями тела вращения.
• Боковые стороны трапеции при вращении образуют криволинейную боковую поверхность.

Геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными кругами (основаниями) и конической поверхностью, называется усеченным конусом. Именно такое тело и образуется при вращении равнобокой трапеции вокруг ее оси симметрии.

Ответ: усеченный конус.

8.18. В правильной шестиугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 2 см и 1 см, боковые ребра равны 3 см. Найдите площадь поверхности вращения этой пирамиды вокруг прямой, проходящей через центры оснований (рис. 8.9).

Рис. 8.10

Рис. 8.9

Для нахождения площади поверхности вращения усеченной пирамиды вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований, необходимо определить, какие геометрические фигуры образуют эту поверхность. Тело вращения, полученное при вращении правильной усеченной пирамиды вокруг своей оси, состоит из трех частей:

• Нижнее основание — круг.
• Верхнее основание — круг.
• Боковая поверхность — боковая поверхность усеченного конуса.

Площадь полной поверхности тела вращения будет суммой площадей этих трех частей.

1. Найдем радиусы оснований тела вращения.

Поверхность вращения образуется при вращении контура пирамиды. Радиусы оснований тела вращения равны расстояниям от центра оснований пирамиды до ее вершин, так как вершины являются наиболее удаленными от оси вращения точками.

В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны этого шестиугольника.

Сторона нижнего (большего) основания пирамиды равна $a = 2$ см. Следовательно, радиус нижнего основания тела вращения равен $R = a = 2$ см.

Сторона верхнего (меньшего) основания пирамиды равна $a_1 = 1$ см. Следовательно, радиус верхнего основания тела вращения равен $R_1 = a_1 = 1$ см.

2. Найдем площади оснований тела вращения.

Основаниями тела вращения являются круги. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.

Площадь нижнего основания:

$S_{нижн} = \pi R^2 = \pi \cdot (2)^2 = 4\pi$ см$^2$.

Площадь верхнего основания:

$S_{верхн} = \pi R_1^2 = \pi \cdot (1)^2 = \pi$ см$^2$.

3. Найдем площадь боковой поверхности тела вращения.

Боковая поверхность тела вращения образуется вращением бокового ребра пирамиды вокруг оси. Эта поверхность является боковой поверхностью усеченного конуса.

Радиусы оснований этого усеченного конуса равны $R = 2$ см и $R_1 = 1$ см. Образующая усеченного конуса $L$ равна длине бокового ребра пирамиды, которая по условию составляет $l = 3$ см.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi (R + R_1) L$.

Подставим наши значения:

$S_{бок} = \pi (2 + 1) \cdot 3 = \pi \cdot 3 \cdot 3 = 9\pi$ см$^2$.

4. Найдем полную площадь поверхности вращения.

Полная площадь поверхности вращения $S_{полн}$ равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{нижн} + S_{верхн} + S_{бок}$

$S_{полн} = 4\pi + \pi + 9\pi = 14\pi$ см$^2$.

Ответ: $14\pi$ см$^2$.

8.19. Найдите площадь боковой поверхности купола юрты (рис. 8.10) в форме усеченного конуса, диаметры оснований которого равны 5 м и 1 м, а высота равна 2 м.

Рис. 8.10

Для нахождения площади боковой поверхности купола юрты, который имеет форму усеченного конуса, используется формула:$S_{бок} = \pi(R + r)l$, где $R$ – радиус большего основания, $r$ – радиус меньшего основания, а $l$ – образующая усеченного конуса.

Согласно условию задачи, диаметры оснований равны $d_1 = 5$ м и $d_2 = 1$ м. Высота купола $h = 2$ м.Найдем радиусы оснований:Радиус большего основания: $R = \frac{d_1}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ м.Радиус меньшего основания: $r = \frac{d_2}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ м.

Далее необходимо найти длину образующей $l$. Образующую можно найти по теореме Пифагора. Если рассмотреть осевое сечение усеченного конуса, мы получим равнобокую трапецию. Образующая $l$ будет гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота $h$ и разность радиусов оснований $(R - r)$.Формула для нахождения образующей: $l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}$.

Вычислим разность радиусов:$R - r = 2.5 - 0.5 = 2$ м.

Теперь подставим значения в формулу для образующей:$l = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ м.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности купола, подставив все найденные значения в исходную формулу:$S_{бок} = \pi(R + r)l = \pi(2.5 + 0.5) \cdot 2\sqrt{2} = \pi \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\pi\sqrt{2}$ м².

Ответ: $6\pi\sqrt{2}$ м².

8.20. Какая фигура получится при вращении правильного шестиугольника вокруг прямой, проходящей через середины его противолежащих сторон (рис. 8.11)? Найдите площадь поверхности этой фигуры, если стороны шестиугольника равны 1 см.

Рис. 8.11

Какая фигура получится при вращении правильного шестиугольника вокруг прямой, проходящей через середины его противолежащих сторон?

При вращении правильного шестиугольника вокруг прямой, проходящей через середины двух его противолежащих сторон, образуется тело вращения. Осевое сечение этого тела представляет собой исходный правильный шестиугольник.

Тело можно описать как состоящее из двух одинаковых усеченных конусов, соединенных по своим большим основаниям. Верхняя и нижняя поверхности этого тела являются плоскими кругами.

Ответ: Фигура, полученная при вращении, представляет собой тело, состоящее из двух одинаковых усеченных конусов, соединенных по большим основаниям, и ограниченное сверху и снизу кругами.

Найдите площадь поверхности этой фигуры, если стороны шестиугольника равны 1 см.

Для нахождения площади поверхности S полученной фигуры необходимо сложить площади двух оснований (верхнего и нижнего) и площадь боковой поверхности.

Пусть сторона правильного шестиугольника равна $a = 1$ см. Расположим шестиугольник в системе координат так, чтобы его центр совпал с началом координат, а ось вращения — с осью Oy. В этом случае две стороны шестиугольника будут горизонтальны (параллельны оси Ox), а ось вращения пройдет через их середины.

Вершины шестиугольника будут иметь следующие координаты: $A(

8.21. Найдите радиусы оснований усеченного конуса, разверткой боковой поверхности которого является половина кругового кольца, изображенного на рисунке 8.12, радиусы окружностей которого равны 1 см и 2 см.

Рис. 8.12

Разверткой боковой поверхности усеченного конуса является сектор кругового кольца. По условию задачи, эта развертка представляет собой половину кругового кольца. Это означает, что центральный угол сектора равен $180^\circ$ или $\pi$ радиан.

Радиусы окружностей, которые образуют это круговое кольцо, даны: больший радиус $R_1 = 2$ см и меньший радиус $R_2 = 1$ см. Эти радиусы развертки являются образующими полного конуса (из которого "вырезали" усеченный) и отсеченной верхней части соответственно.

Длины дуг сектора кругового кольца равны длинам окружностей оснований усеченного конуса. Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы большего и меньшего оснований усеченного конуса.

Длина большей дуги развертки ($L_1$) соответствует длине окружности большего основания конуса. Эта дуга является частью окружности с радиусом $R_1 = 2$ см. Так как сектор составляет половину круга, длина дуги равна:$L_1 = \frac{1}{2} \cdot 2\pi R_1 = \pi R_1 = \pi \cdot 2 = 2\pi$ см.

Длина окружности большего основания конуса равна $2\pi r_1$. Приравнивая ее к длине дуги $L_1$, получаем:$2\pi r_1 = 2\pi$$r_1 = 1$ см.

Аналогично, длина меньшей дуги развертки ($L_2$) соответствует длине окружности меньшего основания конуса. Эта дуга является частью окружности с радиусом $R_2 = 1$ см. Ее длина равна:$L_2 = \frac{1}{2} \cdot 2\pi R_2 = \pi R_2 = \pi \cdot 1 = \pi$ см.

Длина окружности меньшего основания конуса равна $2\pi r_2$. Приравнивая ее к длине дуги $L_2$, получаем:$2\pi r_2 = \pi$$r_2 = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2} = 0,5$ см.

Ответ: радиусы оснований усеченного конуса равны 0,5 см и 1 см.