Страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.15 Имеет ли конус:

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

а) Центр симметрии – это такая точка, относительно которой любая точка фигуры имеет симметричную ей точку, также принадлежащую этой фигуре. Рассмотрим стандартный прямой круговой конус. Пусть $V$ – его вершина. Если бы у конуса существовал центр симметрии, то для вершины $V$ должна была бы существовать симметричная ей точка $V'$, которая также принадлежала бы конусу. Однако, для любой предполагаемой точки центра симметрии, точка $V'$, симметричная вершине, будет находиться вне конуса (например, "за" его основанием). Следовательно, у конуса нет центра симметрии.
Ответ: нет, конус не имеет центра симметрии.

б) Ось симметрии – это прямая, при повороте вокруг которой на определенный угол фигура совмещается сама с собой. У прямого кругового конуса есть одна ось симметрии. Это прямая, которая проходит через вершину конуса и центр его основания. При повороте вокруг этой оси на любой угол конус совмещается сам с собой. Эту прямую называют осью конуса. Других осей симметрии у конуса нет.
Ответ: да, конус имеет одну ось симметрии.

в) Плоскость симметрии – это плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные (симметричные) части. У конуса плоскостью симметрии является любая плоскость, проходящая через его ось (прямую, соединяющую вершину и центр основания). Каждая такая плоскость делит конус на две равные, зеркально-симметричные части. Так как через прямую в пространстве можно провести бесконечное множество плоскостей, то и конус имеет бесконечное множество плоскостей симметрии.
Ответ: да, конус имеет бесконечное множество плоскостей симметрии.

7.16. Какая фигура получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его гипотенузу (рис. 7.9)?

Рис. 7.9

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$. Осью вращения является прямая, содержащая гипотенузу $AB$.

В процессе вращения треугольника вокруг прямой $AB$ вершины $A$ и $B$, лежащие на оси вращения, остаются неподвижными. Вершина прямого угла $C$ движется по окружности в пространстве. Чтобы лучше понять форму получаемого тела, опустим из вершины $C$ высоту $CH$ на гипотенузу $AB$.

Эта высота $CH$ делит исходный треугольник $ABC$ на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle AHC$ и $\triangle BHC$.

Рассмотрим вращение каждого из этих треугольников вокруг оси $AB$:

1. Треугольник $\triangle AHC$ является прямоугольным ($\angle AHC = 90^\circ$). При вращении вокруг своего катета $AH$ (который лежит на оси вращения $AB$) он образует конус. Вершиной этого конуса будет точка $A$, высотой — отрезок $AH$, а радиусом основания — высота исходного треугольника $CH$.

2. Аналогично, треугольник $\triangle BHC$ является прямоугольным ($\angle BHC = 90^\circ$). При вращении вокруг своего катета $BH$ (который также лежит на оси вращения $AB$) он образует второй конус. Вершиной этого конуса будет точка $B$, высотой — отрезок $BH$, а радиусом основания — тот же отрезок $CH$.

В результате вращения всего треугольника $ABC$ получается тело, состоящее из этих двух конусов, которые соединены по своему общему основанию. Это основание представляет собой круг радиусом $CH$, который описывает вершина $C$ при вращении.

Ответ: При вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его гипотенузу, получается фигура, состоящая из двух конусов с общим основанием.

7.17 Какая фигура получается при вращении единичного квадрата вокруг прямой, содержащей его диагональ (рис. 7.10)? Найдите площадь ее поверхности.

Рис. 7.10

Какая фигура получается при вращении единичного квадрата вокруг прямой, содержащей его диагональ?

Единичный квадрат (со стороной, равной 1) можно разделить его диагональю на два конгруэнтных прямоугольных равнобедренных треугольника. Осью вращения является общая гипотенуза этих треугольников.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы образуется конус. Поскольку квадрат состоит из двух таких треугольников, симметрично расположенных относительно оси вращения, то итоговая фигура вращения будет состоять из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями. Эта пространственная фигура называется биконусом.

Ответ: Фигура, полученная в результате вращения, — это два одинаковых конуса, соединенные основаниями.

Найдите площадь ее поверхности.

Площадь поверхности полученной фигуры равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов. Площадь боковой поверхности одного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей.

Найдем параметры $r$ и $l$ для нашего случая:

1. Образующая конуса ($l$). Образующей конуса является сторона квадрата. Так как квадрат единичный, длина его стороны равна 1. Следовательно, $l = 1$.

2. Радиус основания конуса ($r$). Радиус общего основания двух конусов равен высоте прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу (диагональ квадрата). Эта высота равна половине длины второй диагонали квадрата. Найдем длину диагонали $d$ единичного квадрата по теореме Пифагора: $d^2 = 1^2 + 1^2 = 2$, откуда $d = \sqrt{2}$. Так как диагонали квадрата равны и в точке пересечения делятся пополам, радиус $r$ равен половине диагонали: $r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности одного конуса:

$S_{бок} = \pi \cdot r \cdot l = \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{2}}{2}$.

Полная площадь поверхности фигуры $S$ равна удвоенной площади боковой поверхности одного конуса, так как фигура состоит из двух таких конусов:

$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{2}}{2} = \pi\sqrt{2}$.

Ответ: Площадь поверхности фигуры равна $\pi\sqrt{2}$.

7.18 Какая фигура получится при вращении правильной четырех-угольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту (рис. 7.11)?

Рис. 7.11

Рассмотрим процесс вращения правильной четырехугольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $S$ — вершина, а $ABCD$ — основание. Поскольку пирамида правильная, ее основание $ABCD$ является квадратом, а высота $SO$ (где $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата) проектируется в центр этого квадрата. Прямая, содержащая высоту $SO$, является осью вращения.

При вращении пирамиды вокруг оси $SO$ каждая ее точка, не лежащая на оси, описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Точки, лежащие на оси, остаются неподвижными.

Вершина пирамиды, точка $S$, лежит на оси вращения, поэтому она остается на месте. Эта точка станет вершиной полученной фигуры вращения.

Основание пирамиды, квадрат $ABCD$, вращается вокруг своего центра $O$. Все вершины квадрата $A, B, C, D$ равноудалены от центра $O$. При вращении они описывают окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным $OA$. Эта окружность ограничивает круг, который образуется при вращении всей площади квадрата. Этот круг будет основанием фигуры вращения.

Боковые ребра пирамиды, например ребро $SA$, соединяют неподвижную вершину $S$ с точками вращающегося основания. При вращении отрезок $SA$ описывает коническую поверхность. Поскольку все боковые ребра правильной пирамиды равны ($SA = SB = SC = SD$), все они формируют одну и ту же коническую поверхность. Длина бокового ребра становится длиной образующей этой поверхности.

В результате мы получаем фигуру, у которой основание — круг, а боковая поверхность — коническая. Такая фигура называется конусом. Высота этого конуса совпадает с высотой пирамиды, вершина — с вершиной пирамиды, а радиус основания равен расстоянию от центра основания пирамиды до одной из его вершин.

Ответ: конус.

7.19. Найдите площадь поверхности конуса, получающегося вращением правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1, вокруг прямой, содержащей ее высоту (рис. 7.11).

Рис. 7.11

7.19. При вращении правильной четырехугольной пирамиды вокруг ее высоты образуется конус. Для нахождения площади его полной поверхности необходимо определить его радиус основания $r$ и образующую $l$. Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l$.

Образующая конуса $l$ равна боковому ребру исходной пирамиды. По условию задачи, все ребра пирамиды равны 1. Следовательно, образующая конуса $l = 1$.

Радиус основания конуса $r$ равен расстоянию от центра основания пирамиды (которое является квадратом) до любой из его вершин. Это расстояние равно половине диагонали квадрата. В основании пирамиды лежит квадрат со стороной 1, так как все ребра пирамиды равны 1.

Найдем длину диагонали $d$ этого квадрата по теореме Пифагора:

$d^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

$d = \sqrt{2}$

Радиус основания конуса $r$ равен половине диагонали:

$r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим найденные значения $r$ и $l$ в формулу для площади полной поверхности конуса:

$S_{полн} = \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot 1 = \pi \cdot \frac{2}{4} + \frac{\pi\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi(1 + \sqrt{2})}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi(1 + \sqrt{2})}{2}$.

7.20 Какая фигура получится при вращении правильной шестиугольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту (рис. 7.12)?

Рис. 7.12

Фигура, которая получится при вращении, является телом вращения. Осью вращения в данном случае служит прямая, содержащая высоту правильной шестиугольной пирамиды. Обозначим вершину пирамиды как $S$, а центр ее основания (правильного шестиугольника $ABCDEF$) как $O$. Таким образом, осью вращения является прямая $SO$.

Рассмотрим, что происходит с различными частями пирамиды при вращении вокруг оси $SO$:

1. Вершина пирамиды $S$ лежит на оси вращения. Следовательно, при вращении она остается неподвижной. Эта точка станет вершиной (апексом) полученного тела вращения.

2. Основание пирамиды — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Его центр $O$ также находится на оси вращения и остается на месте. В правильном шестиугольнике все вершины ($A, B, C, D, E, F$) находятся на одинаковом расстоянии от центра $O$. При вращении вокруг оси $SO$ каждая вершина основания описывает окружность, лежащую в плоскости основания, с центром в точке $O$. Так как все вершины равноудалены от центра, они все описывают одну и ту же окружность — ту, что описана около шестиугольника-основания. Вращение всего шестиугольника целиком заметает фигуру, представляющую собой круг. Этот круг будет служить основанием тела вращения.

3. Боковая поверхность пирамиды образована шестью равными между собой равнобедренными треугольниками. Возьмем для примера боковое ребро $SA$. Это отрезок, который соединяет вершину $S$ (лежащую на оси) с точкой основания $A$. Когда этот отрезок вращается вокруг оси $SO$, точка $S$ остается на месте, а точка $A$ движется по окружности в плоскости основания. В результате вращения отрезок $SA$ описывает боковую поверхность конуса. Так как в правильной пирамиде все боковые ребра ($SA, SB, \dots, SF$) равны по длине, все они при вращении опишут одну и ту же коническую поверхность.

Таким образом, в результате вращения правильной шестиугольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту, получается геометрическое тело, основанием которого является круг, а боковой поверхностью — коническая поверхность. Такое тело называется конусом. Высота полученного конуса равна высоте исходной пирамиды, а радиус его основания равен радиусу окружности, описанной около правильного шестиугольника, лежащего в основании пирамиды.

Ответ: Конус.

7.21. Найдите площадь поверхности конуса, получающегося вращением правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, вокруг прямой, содержащей ее высоту (рис. 7.12).

Рис. 7.12

При вращении правильной шестиугольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту, образуется конус. Для нахождения площади поверхности этого конуса необходимо определить его основные параметры: радиус основания $R$ и длину образующей $L$.

Образующая конуса $L$ будет равна боковому ребру пирамиды. По условию задачи, боковые ребра равны 2 см. Следовательно, $L = 2$ см.

Основание конуса — это круг, который описывают вершины основания пирамиды при вращении. Радиус этого круга $R$ равен расстоянию от центра правильного шестиугольника (основания пирамиды) до любой из его вершин. В правильном шестиугольнике это расстояние равно длине его стороны. По условию, сторона основания равна 1 см. Таким образом, радиус основания конуса $R = 1$ см.

Площадь полной поверхности конуса складывается из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

Площадь основания конуса (круга) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi R^2$

Подставив значение $R = 1$ см, получим:

$S_{осн} = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi R L$

Подставив значения $R = 1$ см и $L = 2$ см, получим:

$S_{бок} = \pi \cdot 1 \cdot 2 = 2\pi$ см$^2$.

Теперь найдем площадь полной поверхности конуса:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi + 2\pi = 3\pi$ см$^2$.

Ответ: $3\pi$ см$^2$.