Страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.19 Какая фигура получается вращением многоугольника ABCDEF, изображенного на рисунке 6.15, соседние стороны которого образуют прямые углы, вокруг прямой AF? Найдите площадь поверхности этой фигуры.

Рис. 6.15

Какая фигура получается вращением многоугольника ABCDEF, изображенного на рисунке 6.15, соседние стороны которого образуют прямые углы, вокруг прямой AF?

При вращении многоугольника ABCDEF вокруг прямой AF образуется тело вращения. Эту фигуру можно представить как результат вычитания одного тела вращения из другого. Если достроить многоугольник ABCDEF до прямоугольника с вершинами в точках A, F и (2, 2), (2, 0) (в системе координат, где F=(0,0), A=(0,2)), то при вращении этого большого прямоугольника получится цилиндр радиусом $R=2$ и высотой $H=2$. Исходный многоугольник получается из этого прямоугольника удалением прямоугольника с вершинами в (1,1), (2,1), (2,2), (1,2). При вращении удаляемого прямоугольника вокруг оси AF (ось Y) образуется полый цилиндр (труба) высотой 1, с внешним радиусом 2 и внутренним радиусом 1.

Таким образом, итоговая фигура представляет собой цилиндр радиусом $R=2$ и высотой $H=2$, из верхней части которого соосно вырезан (удален) цилиндр радиусом $r=1$ и высотой $h=1$.

Ответ: Тело вращения, которое представляет собой цилиндр радиусом 2 и высотой 2, из верхней части которого соосно удален цилиндр радиусом 1 и высотой 1.

Найдите площадь поверхности этой фигуры.

Площадь полной поверхности полученной фигуры складывается из площадей поверхностей, образованных вращением отрезков, формирующих границу многоугольника (за исключением отрезка AF, который лежит на оси вращения).

1. Вращение отрезка EF образует нижнее основание фигуры — круг радиусом $R=EF=2$. Площадь этого круга:

$S_1 = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.

2. Вращение отрезка DE образует внешнюю боковую поверхность. Это боковая поверхность цилиндра с радиусом $R=2$ и высотой $h_{DE}=1$. Площадь этой поверхности:

$S_2 = 2\pi R h_{DE} = 2\pi \cdot 2 \cdot 1 = 4\pi$.

3. Вращение отрезка CD образует горизонтальную поверхность в виде кольца ("ступеньку"). Внешний радиус кольца $R=2$, внутренний радиус $r=1$. Площадь этого кольца:

$S_3 = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (2^2 - 1^2) = \pi(4-1) = 3\pi$.

4. Вращение отрезка BC образует внутреннюю боковую поверхность. Это боковая поверхность цилиндра с радиусом $r=1$ и высотой $h_{BC}=1$. Площадь этой поверхности:

$S_4 = 2\pi r h_{BC} = 2\pi \cdot 1 \cdot 1 = 2\pi$.

5. Вращение отрезка AB образует верхнюю поверхность фигуры — круг радиусом $r=AB=1$. Площадь этого круга:

$S_5 = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$.

Полная площадь поверхности фигуры равна сумме площадей всех этих частей:

$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 = 4\pi + 4\pi + 3\pi + 2\pi + \pi = 14\pi$.

Ответ: $14\pi$.

6.20 Какая фигура получается вращением многоугольника ABCDEFGH, изображенного на рисунке 6.16, соседние стороны которого образуют прямые углы, вокруг прямой AB? Найдите площадь поверхности этой фигуры.

Рис. 6.16

Какая фигура получается вращением многоугольника ABCDEFGH, изображенного на рисунке 6.16, соседние стороны которого образуют прямые углы, вокруг прямой AB?

При вращении многоугольника ABCDEFGH вокруг прямой AB, которая является осью вращения, образуется тело вращения. Чтобы понять его структуру, представим многоугольник как комбинацию двух фигур: большого прямоугольника с основанием на отрезке AB (длиной 3) и высотой 1, и малого квадрата со стороной 1, расположенного над центральной частью большого прямоугольника.

1. Вращение большого прямоугольника, соответствующего многоугольнику AH'C'B (где H' и C' - проекции точек H и C на ось AB, то есть A и B), вокруг стороны AB создает сплошной цилиндр с радиусом основания $r=1$ (равным HA и BC) и высотой $h=3$ (равной AB).

2. Вращение верхнего квадрата GDEF создает полый цилиндр (трубу), который "надет" на среднюю часть основного цилиндра. Высота этой трубы равна длине стороны EF, то есть $h_{трубы}=1$. Внутренний радиус трубы равен расстоянию от стороны GD до оси вращения, то есть $r_{вн}=1$. Внешний радиус равен расстоянию от стороны EF до оси вращения, то есть $R_{внеш}=1+1=2$.

Таким образом, итоговая фигура — это комбинация сплошного цилиндра и соосного ему полого цилиндра (трубы), надетого на его среднюю часть.

Ответ: Фигура, получающаяся вращением, представляет собой сплошной цилиндр радиусом 1 и высотой 3, на среднюю часть которого соосно надет полый цилиндр (труба) высотой 1, с внутренним радиусом 1 и внешним радиусом 2.

Найдите площадь поверхности этой фигуры.

Площадь полной поверхности фигуры вращения равна сумме площадей поверхностей, которые образуются при вращении сторон многоугольника ABCDEFGH вокруг оси AB. Сторона AB лежит на оси вращения, поэтому она не вносит вклада в площадь поверхности.

Рассчитаем площадь, создаваемую вращением каждой из остальных сторон:

1. Вращение отрезков HA и BC. Оба отрезка имеют длину 1 и являются крайними перпендикулярами к оси вращения. Каждый из них образует круг радиусом $r=1$.
Суммарная площадь двух кругов: $S_1 = 2 \cdot (\pi r^2) = 2 \cdot (\pi \cdot 1^2) = 2\pi$.

2. Вращение отрезков GH и CD. Оба отрезка имеют длину 1 и параллельны оси вращения на расстоянии $r=1$. Они образуют боковые поверхности двух цилиндрических участков.
Суммарная площадь: $S_2 = 2\pi r \cdot GH + 2\pi r \cdot CD = 2\pi \cdot 1 \cdot 1 + 2\pi \cdot 1 \cdot 1 = 4\pi$.

3. Вращение отрезка EF. Этот отрезок имеет длину 1 и параллелен оси вращения на расстоянии $R=2$. Он образует боковую поверхность цилиндра.
Площадь: $S_3 = 2\pi R \cdot EF = 2\pi \cdot 2 \cdot 1 = 4\pi$.

4. Вращение отрезков DE и FG. Эти вертикальные отрезки соединяют окружности с радиусами 1 и 2. Каждый из них образует плоское кольцо (аннулус) с внешним радиусом $R=2$ и внутренним радиусом $r=1$.
Суммарная площадь двух колец: $S_4 = 2 \cdot (\pi (R^2 - r^2)) = 2 \cdot (\pi (2^2 - 1^2)) = 2 \cdot 3\pi = 6\pi$.

Полная площадь поверхности фигуры $S_{полная}$ равна сумме площадей всех этих частей:
$S_{полная} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4$
$S_{полная} = 2\pi + 4\pi + 4\pi + 6\pi = 16\pi$.

Ответ: $16\pi$.

6.21 Найдите площадь поверхности детали, изображенной на рисунке 6.17, составленной из двух равных частей цилиндров, составленных под углом $90^\circ$.

10 см

10 см

20 см

20 см

Рис. 6.17

Для нахождения полной площади поверхности детали необходимо сложить площади всех её внешних частей: двух круглых оснований (торцов) и боковой поверхности, которая, в свою очередь, состоит из двух прямых цилиндрических участков и одного изогнутого участка (колена).

Определение параметров детали

Из рисунка находим ключевые размеры. Внешний габарит колена равен 20 см, а внутренний — 10 см. Их разница равна диаметру $d$ цилиндрической трубы:

$d = 20 \text{ см} - 10 \text{ см} = 10 \text{ см}$

Следовательно, радиус $r$ трубы составляет:

$r = \frac{d}{2} = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см}$

Длина каждого из прямых участков, как указано на рисунке, равна $h = 10 \text{ см}$.

Расчет площади двух оснований

Деталь имеет два открытых торца в форме круга. Площадь одного круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$. Общая площадь двух оснований $S_{оснований}$ будет:

$S_{оснований} = 2 \cdot S_{круга} = 2 \cdot \pi \cdot (5 \text{ см})^2 = 2 \cdot 25\pi \text{ см}^2 = 50\pi \text{ см}^2$

Расчет площади боковой поверхности

Боковая поверхность состоит из двух частей: двух прямых цилиндрических участков и изогнутого колена.

Площадь боковой поверхности двух прямых участков $S_{прямых}$ вычисляется как удвоенная площадь боковой поверхности одного цилиндра ($2\pi r h$):

$S_{прямых} = 2 \cdot (2\pi r h) = 2 \cdot (2\pi \cdot 5 \text{ см} \cdot 10 \text{ см}) = 2 \cdot 100\pi \text{ см}^2 = 200\pi \text{ см}^2$

Изогнутый участок представляет собой сектор тора (поверхности вращения), образованный поворотом на 90°. Его площадь $S_{изгиба}$ можно найти по второй теореме Паппа-Гюльдена. Для этого нужно определить радиус осевой линии изгиба $R$. Он равен сумме внутреннего радиуса изгиба (10 см) и радиуса трубы ($r=5$ см):

$R = 10 \text{ см} + 5 \text{ см} = 15 \text{ см}$

Площадь поверхности сектора тора, повернутого на угол $\theta$ (в радианах), равна $S = \theta R \cdot (2\pi r)$. Угол 90° равен $\frac{\pi}{2}$ радиан. В данном случае формула принимает вид $S = \pi^2 r R$.

Подставляем наши значения:

$S_{изгиба} = \pi^2 \cdot r \cdot R = \pi^2 \cdot 5 \text{ см} \cdot 15 \text{ см} = 75\pi^2 \text{ см}^2$

Расчет полной площади поверхности

Полная площадь поверхности детали $S_{полная}$ — это сумма площади оснований и площадей всех частей боковой поверхности:

$S_{полная} = S_{оснований} + S_{прямых} + S_{изгиба}$

$S_{полная} = 50\pi \text{ см}^2 + 200\pi \text{ см}^2 + 75\pi^2 \text{ см}^2$

$S_{полная} = (250\pi + 75\pi^2) \text{ см}^2$

Для более компактной записи можно вынести общий множитель $25\pi$ за скобки:

$S_{полная} = 25\pi(10 + 3\pi) \text{ см}^2$

Ответ: $S_{полная} = (250\pi + 75\pi^2) \text{ см}^2$.

6.222. Повторите определения равнобедренного треугольника и кругового сектора.

Определение равнобедренного треугольника

Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны равны по длине. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья, отличная от них по длине (или равная им в случае равностороннего треугольника, который является частным случаем равнобедренного), называется основанием. Важным свойством равнобедренного треугольника является равенство углов при его основании, то есть углов, противолежащих равным сторонам.

Ответ: Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны имеют одинаковую длину.

Определение кругового сектора

Круговым сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы этой дуги с центром круга. Иными словами, это область на плоскости, заключенная между двумя радиусами одной окружности и дугой, которую они высекают. Угол, образованный этими двумя радиусами с вершиной в центре круга, называется центральным углом сектора. Величина сектора определяется длиной его дуги или величиной его центрального угла.

Ответ: Круговой сектор — это часть круга, ограниченная двумя его радиусами и дугой между ними.