Номер 6.20, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.20 Какая фигура получается вращением многоугольника ABCDEFGH, изображенного на рисунке 6.16, соседние стороны которого образуют прямые углы, вокруг прямой AB? Найдите площадь поверхности этой фигуры.

Рис. 6.16

Какая фигура получается вращением многоугольника ABCDEFGH, изображенного на рисунке 6.16, соседние стороны которого образуют прямые углы, вокруг прямой AB?

При вращении многоугольника ABCDEFGH вокруг прямой AB, которая является осью вращения, образуется тело вращения. Чтобы понять его структуру, представим многоугольник как комбинацию двух фигур: большого прямоугольника с основанием на отрезке AB (длиной 3) и высотой 1, и малого квадрата со стороной 1, расположенного над центральной частью большого прямоугольника.

1. Вращение большого прямоугольника, соответствующего многоугольнику AH'C'B (где H' и C' - проекции точек H и C на ось AB, то есть A и B), вокруг стороны AB создает сплошной цилиндр с радиусом основания $r=1$ (равным HA и BC) и высотой $h=3$ (равной AB).

2. Вращение верхнего квадрата GDEF создает полый цилиндр (трубу), который "надет" на среднюю часть основного цилиндра. Высота этой трубы равна длине стороны EF, то есть $h_{трубы}=1$. Внутренний радиус трубы равен расстоянию от стороны GD до оси вращения, то есть $r_{вн}=1$. Внешний радиус равен расстоянию от стороны EF до оси вращения, то есть $R_{внеш}=1+1=2$.

Таким образом, итоговая фигура — это комбинация сплошного цилиндра и соосного ему полого цилиндра (трубы), надетого на его среднюю часть.

Ответ: Фигура, получающаяся вращением, представляет собой сплошной цилиндр радиусом 1 и высотой 3, на среднюю часть которого соосно надет полый цилиндр (труба) высотой 1, с внутренним радиусом 1 и внешним радиусом 2.

Найдите площадь поверхности этой фигуры.

Площадь полной поверхности фигуры вращения равна сумме площадей поверхностей, которые образуются при вращении сторон многоугольника ABCDEFGH вокруг оси AB. Сторона AB лежит на оси вращения, поэтому она не вносит вклада в площадь поверхности.

Рассчитаем площадь, создаваемую вращением каждой из остальных сторон:

1. Вращение отрезков HA и BC. Оба отрезка имеют длину 1 и являются крайними перпендикулярами к оси вращения. Каждый из них образует круг радиусом $r=1$.
Суммарная площадь двух кругов: $S_1 = 2 \cdot (\pi r^2) = 2 \cdot (\pi \cdot 1^2) = 2\pi$.

2. Вращение отрезков GH и CD. Оба отрезка имеют длину 1 и параллельны оси вращения на расстоянии $r=1$. Они образуют боковые поверхности двух цилиндрических участков.
Суммарная площадь: $S_2 = 2\pi r \cdot GH + 2\pi r \cdot CD = 2\pi \cdot 1 \cdot 1 + 2\pi \cdot 1 \cdot 1 = 4\pi$.

3. Вращение отрезка EF. Этот отрезок имеет длину 1 и параллелен оси вращения на расстоянии $R=2$. Он образует боковую поверхность цилиндра.
Площадь: $S_3 = 2\pi R \cdot EF = 2\pi \cdot 2 \cdot 1 = 4\pi$.

4. Вращение отрезков DE и FG. Эти вертикальные отрезки соединяют окружности с радиусами 1 и 2. Каждый из них образует плоское кольцо (аннулус) с внешним радиусом $R=2$ и внутренним радиусом $r=1$.
Суммарная площадь двух колец: $S_4 = 2 \cdot (\pi (R^2 - r^2)) = 2 \cdot (\pi (2^2 - 1^2)) = 2 \cdot 3\pi = 6\pi$.

Полная площадь поверхности фигуры $S_{полная}$ равна сумме площадей всех этих частей:
$S_{полная} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4$
$S_{полная} = 2\pi + 4\pi + 4\pi + 6\pi = 16\pi$.

Ответ: $16\pi$.