Номер 6.14, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.14 Какая фигура получится при вращении правильной треугольной призмы вокруг прямой:

а) содержащей боковое ребро;

б) проходящей через центры ее оснований (рис. 6.12)?

Рис. 6.12

Для решения задачи определим параметры правильной треугольной призмы. Пусть $a$ — длина стороны основания (равностороннего треугольника), а $h$ — высота призмы (длина бокового ребра). Фигура, получаемая при вращении, является телом вращения.

а) вращении вокруг прямой, содержащей боковое ребро
В качестве оси вращения выберем прямую, содержащую боковое ребро $AA_1$. Поскольку призма прямая, эта ось перпендикулярна плоскостям оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$.
Тело вращения, полученное при вращении призмы, будет иметь одинаковые поперечные сечения в любой плоскости, перпендикулярной оси вращения. Чтобы определить форму этого сечения, рассмотрим вращение основания — треугольника $ABC$ — вокруг вершины $A$, которая лежит на оси вращения.
Каждая точка треугольника $ABC$ при вращении вокруг точки $A$ опишет дугу окружности. Объединение всех таких дуг образует фигуру, которая представляет собой круг. Радиус этого круга определяется максимальным расстоянием от центра вращения (точки $A$) до точек вращаемой фигуры (треугольника $ABC$). В равностороннем треугольнике $ABC$ наиболее удаленными от вершины $A$ являются вершины $B$ и $C$. Расстояние до них равно длине стороны треугольника $a$.
Следовательно, при вращении треугольника $ABC$ вокруг вершины $A$ получается круг радиусом $R = a$.
Так как все поперечные сечения призмы, параллельные основанию, являются равными треугольниками, то при вращении каждого из них будет получаться круг радиуса $a$. Совокупность этих кругов, расположенных на высоте от $0$ до $h$, образует прямой круговой цилиндр.
Таким образом, искомая фигура — это цилиндр, высота которого равна высоте призмы $h$, а радиус основания равен стороне основания призмы $a$.
Ответ: Получится цилиндр с высотой, равной высоте призмы, и радиусом, равным стороне основания призмы.

б) вращении вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований
Ось вращения проходит через центры оснований $O$ и $O_1$. Эта прямая является осью симметрии правильной призмы и перпендикулярна основаниям.
Как и в предыдущем случае, для определения формы тела вращения рассмотрим вращение основания $ABC$ вокруг его центра $O$, который лежит на оси вращения.
При вращении треугольника $ABC$ вокруг своего центра $O$ получается круг. Радиус этого круга определяется максимальным расстоянием от центра $O$ до точек треугольника. Это расстояние равно радиусу описанной окружности $R_{circ}$ для равностороннего треугольника $ABC$.
Радиус описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $R_{circ} = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Следовательно, при вращении основания $ABC$ вокруг центра $O$ получается круг радиусом $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Вращение всей призмы вокруг оси $OO_1$ приводит к образованию прямого кругового цилиндра.
Высота этого цилиндра равна высоте призмы $h$, а радиус его основания равен радиусу описанной окружности основания призмы, то есть $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Ответ: Получится цилиндр с высотой, равной высоте призмы, и радиусом, равным радиусу окружности, описанной около основания призмы ($R = \frac{a}{\sqrt{3}}$, где $a$ - сторона основания).