Номер 6.13, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.13 Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, получающегося вращением единичного куба вокруг прямой:

а) $AA_1$;

б) соединяющей центры его противоположных граней (рис. 6.11).

Рис. 6.11

а)

При вращении единичного куба вокруг прямой, содержащей его ребро $AA_1$, образуется цилиндр. Высота этого цилиндра $h$ равна длине ребра $AA_1$. Поскольку куб является единичным, длина его ребра равна 1. Таким образом, $h = 1$.

Радиус основания цилиндра $r$ определяется как максимальное расстояние от точек куба до оси вращения $AA_1$. Наиболее удаленными от прямой $AA_1$ являются точки, лежащие на ребре $CC_1$. Расстояние от любой точки на ребре $CC_1$ до прямой $AA_1$ равно длине диагонали грани куба, например, диагонали $AC$ грани $ABCD$.

Грань $ABCD$ является квадратом со стороной 1. Найдем длину ее диагонали $AC$ по теореме Пифагора:

$r = |AC| = \sqrt{|AB|^2 + |BC|^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$. Подставим значения $r = \sqrt{2}$ и $h = 1$:

$S_{бок} = 2\pi \cdot \sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2}\pi$.

Ответ: $2\sqrt{2}\pi$.

б)

При вращении единичного куба вокруг прямой $a$, которая соединяет центры его противолежащих граней (например, $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$), также образуется цилиндр. Высота этого цилиндра $h$ равна длине ребра куба, так как ось вращения перпендикулярна граням и проходит через их центры. Следовательно, $h = 1$.

Радиус основания цилиндра $r$ равен расстоянию от оси вращения до наиболее удаленных от нее точек куба. В данном случае наиболее удаленными точками являются все вершины куба (например, $A$, $B$, $C$, $D$). Расстояние от оси вращения (центра грани-квадрата) до любой из его вершин равно половине длины диагонали этого квадрата.

Длина диагонали грани единичного куба, как мы выяснили в пункте а), равна $\sqrt{2}$.

Тогда радиус основания цилиндра равен:

$r = \frac{1}{2}|AC| = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра находим по той же формуле $S_{бок} = 2\pi rh$. Подставим значения $r = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $h = 1$:

$S_{бок} = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \sqrt{2}\pi$.

Ответ: $\sqrt{2}\pi$.