Номер 6.12, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.12 Какая фигура получится при вращении куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вокруг прямой:

a) $AA_1$;

б) соединяющей центры его противоположных граней (рис. 6.11)?

Рис. 6.11

Обозначим длину ребра куба как $s$.

а) Рассмотрим вращение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вокруг прямой $AA_1$. Эта прямая содержит ребро куба.
Фигура, полученная в результате вращения, является телом вращения. Осью вращения является прямая $AA_1$. Высота этого тела будет равна длине отрезка $A_1$, который является ребром куба, то есть высота $h = s$.
Радиус тела вращения определяется максимальным расстоянием от точек куба до оси вращения. Чтобы найти этот радиус, введем систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0, 0, 0)$, а ось $AA_1$ совпадает с осью $Oz$. Тогда ребра $AB$ и $AD$ лежат на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно. Вершины куба будут иметь координаты: $A(0,0,0)$, $B(s,0,0)$, $D(0,s,0)$, $C(s,s,0)$, $A_1(0,0,s)$, $B_1(s,0,s)$, $D_1(0,s,s)$, $C_1(s,s,s)$.
Расстояние от любой точки $(x,y,z)$ до оси вращения $Oz$ вычисляется по формуле $R = \sqrt{x^2 + y^2}$. Нам нужно найти максимальное значение этого расстояния для точек, принадлежащих кубу, то есть для которых $0 \le x \le s$, $0 \le y \le s$, $0 \le z \le s$.
Максимальное значение $R$ достигается при максимальных значениях $x$ и $y$, то есть при $x=s$ и $y=s$. Это соответствует точкам на ребре $CC_1$. Максимальный радиус равен $R_{max} = \sqrt{s^2 + s^2} = \sqrt{2s^2} = s\sqrt{2}$. Это расстояние равно диагонали грани куба.
Поскольку радиус вращения не зависит от высоты $z$ (для любой высоты от $0$ до $s$ поперечное сечение куба — это квадрат, вращение которого заметает круг максимального радиуса), итоговая фигура является прямым круговым цилиндром.
Таким образом, при вращении куба вокруг своего ребра образуется цилиндр, высота которого равна ребру куба ($h=s$), а радиус основания равен диагонали грани куба ($R=s\sqrt{2}$).

Ответ: Прямой круговой цилиндр, высота которого равна ребру куба, а радиус основания равен диагонали грани куба.

б) Рассмотрим вращение куба вокруг прямой, соединяющей центры его противолежащих граней (например, $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$). Эта прямая проходит через центр куба и перпендикулярна этим граням.
Высота полученного тела вращения будет равна расстоянию между центрами этих граней, что равно длине ребра куба, то есть $h = s$.
Для нахождения радиуса введем систему координат с началом в центре куба. Пусть ось вращения совпадает с осью $Oz$. Тогда грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ будут лежать в плоскостях $z = -s/2$ и $z = s/2$. Координаты вершин куба будут $(\pm s/2, \pm s/2, \pm s/2)$.
Радиус тела вращения $R$ — это максимальное расстояние от точек куба до оси $Oz$. Расстояние от точки $(x,y,z)$ до оси $Oz$ равно $\sqrt{x^2+y^2}$. Для точек куба $-s/2 \le x \le s/2$ и $-s/2 \le y \le s/2$.
Максимальное значение $R$ достигается, когда $|x|$ и $|y|$ максимальны, то есть $|x|=s/2$ и $|y|=s/2$. Это соответствует точкам на вертикальных ребрах куба. Максимальный радиус равен $R_{max} = \sqrt{(s/2)^2 + (s/2)^2} = \sqrt{s^2/4 + s^2/4} = \sqrt{2s^2/4} = \sqrt{s^2/2} = \frac{s}{\sqrt{2}} = \frac{s\sqrt{2}}{2}$.
Это расстояние равно половине диагонали грани куба.
Так как для любой высоты $z$ в диапазоне от $-s/2$ до $s/2$ поперечное сечение куба представляет собой один и тот же квадрат со стороной $s$, вращающийся вокруг своего центра, итоговая фигура является прямым круговым цилиндром.
Таким образом, при вращении куба вокруг прямой, соединяющей центры противоположных граней, образуется цилиндр, высота которого равна ребру куба ($h=s$), а радиус основания равен половине диагонали грани куба ($R=\frac{s\sqrt{2}}{2}$).

Ответ: Прямой круговой цилиндр, высота которого равна ребру куба, а радиус основания равен половине диагонали грани куба.