Номер 6.16, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.16 Какая фигура получится при вращении правильной шестиугольной призмы вокруг прямой:
а) содержащей боковое ребро;

б) проходящей через центры ее оснований (рис. 6.13)?

$A$, $A_1$, $B$, $B_1$, $C$, $C_1$, $D$, $D_1$, $E$, $E_1$, $F$, $F_1$

Рис. 6.13

а) Пусть правильная шестиугольная призма имеет сторону основания $a$ и высоту $h$. Осью вращения является прямая, содержащая одно из боковых ребер, например, ребро $AA_1$.

Тело вращения, которое получится в результате, будет ограничено поверхностью, образованной вращением наиболее удаленных от оси точек призмы. Для оси, проходящей через ребро $AA_1$, наиболее удаленным является противоположное боковое ребро $DD_1$.

Расстояние между параллельными прямыми $AA_1$ и $DD_1$ равно длине большой диагонали $AD$ правильного шестиугольника в основании. Длина большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$.

При вращении ребро $DD_1$ опишет цилиндрическую поверхность с радиусом $R=2a$ и высотой, равной высоте призмы $h$. Поскольку призма является сплошным телом, а ось вращения принадлежит его границе, то все пространство внутри этой цилиндрической поверхности будет заполнено. Таким образом, итоговая фигура — это сплошной цилиндр.

Ответ: Цилиндр, радиус основания которого равен большой диагонали основания призмы ($R=2a$), а высота равна высоте призмы.

б) В этом случае осью вращения является прямая, проходящая через центры оснований призмы. Эта прямая является осью симметрии призмы.

Внешняя граница тела вращения определяется вращением наиболее удаленных от оси точек призмы. В данном случае это точки, лежащие на боковых ребрах ($AA_1, BB_1$ и т.д.). Расстояние от оси до любого бокового ребра равно радиусу описанной около основания окружности. Для правильного шестиугольника со стороной $a$ этот радиус равен самой стороне: $R_{внешн} = a$. Вращение этих ребер образует внешнюю цилиндрическую поверхность радиусом $a$ и высотой $h$.

Внутренняя граница тела вращения (если она существует) определяется вращением ближайших к оси точек призмы. Ближайшими к оси точками на боковой поверхности призмы являются вертикальные линии, проходящие по серединам боковых граней. Расстояние от этих линий до оси вращения равно радиусу вписанной в основание окружности (апофеме). Для правильного шестиугольника со стороной $a$ апофема равна $R_{внутр} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Вращение этих линий образует внутреннюю цилиндрическую поверхность.

Поскольку $R_{внутр} > 0$, внутри тела вращения образуется полость. Таким образом, итоговая фигура представляет собой тело, заключенное между двумя соосными цилиндрами. Такая фигура называется полым цилиндром или цилиндрической оболочкой.

Ответ: Полый цилиндр, внешний радиус которого равен стороне основания призмы ($R_{внешн} = a$), внутренний радиус равен апофеме основания ($R_{внутр} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$), а высота равна высоте призмы.