Задания, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основанием которого служит диаметр основания конуса.

Рассмотрим конус с вершиной в точке $P$ и основанием в виде круга с центром в точке $O$. Осью конуса является отрезок $PO$, который по определению перпендикулярен плоскости основания.

Осевое сечение конуса — это фигура, получающаяся при пересечении конуса плоскостью, которая проходит через его ось $PO$.

Данная плоскость пересекает основание конуса по диаметру. Обозначим концы этого диаметра буквами $A$ и $B$. Таким образом, одна из сторон сечения — это отрезок $AB$, который является диаметром основания конуса.

Плоскость сечения также пересекает боковую поверхность конуса по двум линиям, соединяющим вершину $P$ с точками $A$ и $B$ на окружности основания. Эти линии являются отрезками $PA$ и $PB$, которые называются образующими конуса.

В итоге в плоскости сечения образуется треугольник $PAB$, основанием которого является диаметр $AB$ основания конуса, а боковыми сторонами — образующие $PA$ и $PB$.

Чтобы доказать, что треугольник $PAB$ является равнобедренным, необходимо показать, что его боковые стороны равны, то есть $PA = PB$.

По определению прямого кругового конуса, все его образующие (отрезки, соединяющие вершину с точками окружности основания) имеют одинаковую длину. Следовательно, $PA = PB$. Поскольку в треугольнике $PAB$ две стороны равны, он является равнобедренным.

Это также можно доказать, рассмотрев два прямоугольных треугольника: $\triangle POA$ и $\triangle POB$. В этих треугольниках:
• катет $PO$ (высота конуса) является общим;
• катеты $OA$ и $OB$ равны как радиусы одной и той же окружности основания;
• углы $\angle POA$ и $\angle POB$ равны $90^\circ$, так как ось $PO$ перпендикулярна плоскости основания.

Следовательно, $\triangle POA = \triangle POB$ по двум катетам. Из равенства треугольников следует и равенство их гипотенуз: $PA = PB$.

Таким образом, осевое сечение конуса — это треугольник $PAB$, у которого стороны $PA$ и $PB$ равны, а основание $AB$ является диаметром основания конуса. Это доказывает, что осевое сечение конуса является равнобедренным треугольником.

Ответ: Утверждение доказано. Осевое сечение конуса образуется двумя образующими и диаметром основания. Так как все образующие конуса равны между собой, то треугольник, являющийся осевым сечением, имеет две равные боковые стороны, то есть является равнобедренным. Основанием этого треугольника служит диаметр основания конуса.