Номер 6.17, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.17 Найдите площадь поверхности цилиндра, получающегося вращением правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой:

а) содержащей боковое ребро;

б) проходящей через центры ее оснований (рис. 6.13).

Рис. 6.13

а) содержащей боковое ребро

По условию задачи дана правильная шестиугольная призма, у которой все ребра равны 1 см. Это значит, что сторона основания (правильного шестиугольника) $a = 1$ см, и высота призмы $h_{призмы}$, равная длине бокового ребра, также составляет 1 см.

При вращении призмы вокруг прямой, содержащей одно из ее боковых ребер (например, ребро $AA_1$), получается цилиндр. Высота этого цилиндра $h$ будет равна высоте призмы, то есть $h = h_{призмы} = 1$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ определяется как максимальное расстояние от оси вращения до любой точки призмы. Наиболее удаленными от оси вращения (ребра $AA_1$) будут точки, лежащие на противоположном ребре $DD_1$. Расстояние от оси $AA_1$ до ребра $DD_1$ равно длине большой диагонали шестиугольного основания, то есть расстоянию между вершинами $A$ и $D$.

В правильном шестиугольнике большая диагональ в два раза длиннее его стороны. Следовательно, радиус цилиндра равен:

$R = AD = 2a = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра находится по формуле $S = 2\pi R(h + R)$. Подставим найденные значения высоты и радиуса:

$S = 2\pi \cdot 2 (1 + 2) = 4\pi \cdot 3 = 12\pi$ см².

Ответ: $12\pi$ см².

б) проходящей через центры ее оснований

В этом случае призма вращается вокруг прямой, соединяющей центры ее оснований. Эта прямая является осью симметрии призмы. Высота цилиндра $h$, образующегося при таком вращении, также равна высоте призмы: $h = 1$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ будет равен расстоянию от оси вращения до самой удаленной от нее точки призмы. В данном случае наиболее удаленными точками являются все вершины призмы ($A, B, C, D, E, F$ и $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$). Расстояние от центра правильного шестиугольника до любой из его вершин равно длине стороны шестиугольника.

Следовательно, радиус цилиндра равен:

$R = a = 1$ см.

Такой цилиндр называется описанным около призмы. Найдем площадь его полной поверхности по формуле $S = 2\pi R(h + R)$:

$S = 2\pi \cdot 1 (1 + 1) = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$ см².

Ответ: $4\pi$ см².