Номер 6.15, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.15 Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, получающегося вращением правильной треугольной призмы, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой:

a) содержащей боковое ребро;

б) проходящей через центры ее оснований (рис. 6.12).

Рис. 6.12

$A, B, C, A_1, B_1, C_1, a$

По условию задачи мы имеем правильную треугольную призму, все ребра которой равны 1 см. Это означает, что в основании призмы ($ABC$ и $A_1B_1C_1$) лежат равносторонние треугольники со стороной $a = 1$ см, а высота призмы (длина бокового ребра) также равна $h = 1$ см.

Формула для площади боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2 \pi R H$, где $R$ - радиус основания цилиндра, а $H$ - его высота.

а) содержащей боковое ребро

Рассмотрим вращение призмы вокруг прямой, содержащей боковое ребро, например, $CC_1$.

При вращении призмы вокруг одного из ее боковых ребер образуется цилиндр. Высота этого цилиндра $H$ будет равна длине бокового ребра, то есть $H = h = 1$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ будет равен наибольшему расстоянию от точек призмы до оси вращения. В данном случае это расстояние от оси $CC_1$ до вершин $A$ или $B$ (или любой точки на ребрах $AA_1$ и $BB_1$). Это расстояние равно длине стороны основания, так как треугольник $ABC$ - равносторонний. Таким образом, $R = AC = BC = a = 1$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности полученного цилиндра:

$S_{бок} = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot 1 \cdot 1 = 2\pi$ (см²).

Ответ: $2\pi$ см².

б) проходящей через центры ее оснований

Рассмотрим вращение призмы вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований. Эта прямая является осью симметрии призмы.

Высота полученного цилиндра $H$ будет равна высоте призмы, то есть $H = h = 1$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ будет равен расстоянию от оси вращения до любого из боковых ребер ($AA_1$, $BB_1$ или $CC_1$). Это расстояние равно радиусу окружности, описанной около треугольника основания. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Так как сторона основания $a = 1$ см, радиус будет равен:

$R = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности полученного цилиндра:

$S_{бок} = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 = \frac{2\pi\sqrt{3}}{3}$ (см²).

Ответ: $\frac{2\pi\sqrt{3}}{3}$ см².