Номер 6.21, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.21 Найдите площадь поверхности детали, изображенной на рисунке 6.17, составленной из двух равных частей цилиндров, составленных под углом $90^\circ$.

10 см

10 см

20 см

20 см

Рис. 6.17

Для нахождения полной площади поверхности детали необходимо сложить площади всех её внешних частей: двух круглых оснований (торцов) и боковой поверхности, которая, в свою очередь, состоит из двух прямых цилиндрических участков и одного изогнутого участка (колена).

Определение параметров детали

Из рисунка находим ключевые размеры. Внешний габарит колена равен 20 см, а внутренний — 10 см. Их разница равна диаметру $d$ цилиндрической трубы:

$d = 20 \text{ см} - 10 \text{ см} = 10 \text{ см}$

Следовательно, радиус $r$ трубы составляет:

$r = \frac{d}{2} = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см}$

Длина каждого из прямых участков, как указано на рисунке, равна $h = 10 \text{ см}$.

Расчет площади двух оснований

Деталь имеет два открытых торца в форме круга. Площадь одного круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$. Общая площадь двух оснований $S_{оснований}$ будет:

$S_{оснований} = 2 \cdot S_{круга} = 2 \cdot \pi \cdot (5 \text{ см})^2 = 2 \cdot 25\pi \text{ см}^2 = 50\pi \text{ см}^2$

Расчет площади боковой поверхности

Боковая поверхность состоит из двух частей: двух прямых цилиндрических участков и изогнутого колена.

Площадь боковой поверхности двух прямых участков $S_{прямых}$ вычисляется как удвоенная площадь боковой поверхности одного цилиндра ($2\pi r h$):

$S_{прямых} = 2 \cdot (2\pi r h) = 2 \cdot (2\pi \cdot 5 \text{ см} \cdot 10 \text{ см}) = 2 \cdot 100\pi \text{ см}^2 = 200\pi \text{ см}^2$

Изогнутый участок представляет собой сектор тора (поверхности вращения), образованный поворотом на 90°. Его площадь $S_{изгиба}$ можно найти по второй теореме Паппа-Гюльдена. Для этого нужно определить радиус осевой линии изгиба $R$. Он равен сумме внутреннего радиуса изгиба (10 см) и радиуса трубы ($r=5$ см):

$R = 10 \text{ см} + 5 \text{ см} = 15 \text{ см}$

Площадь поверхности сектора тора, повернутого на угол $\theta$ (в радианах), равна $S = \theta R \cdot (2\pi r)$. Угол 90° равен $\frac{\pi}{2}$ радиан. В данном случае формула принимает вид $S = \pi^2 r R$.

Подставляем наши значения:

$S_{изгиба} = \pi^2 \cdot r \cdot R = \pi^2 \cdot 5 \text{ см} \cdot 15 \text{ см} = 75\pi^2 \text{ см}^2$

Расчет полной площади поверхности

Полная площадь поверхности детали $S_{полная}$ — это сумма площади оснований и площадей всех частей боковой поверхности:

$S_{полная} = S_{оснований} + S_{прямых} + S_{изгиба}$

$S_{полная} = 50\pi \text{ см}^2 + 200\pi \text{ см}^2 + 75\pi^2 \text{ см}^2$

$S_{полная} = (250\pi + 75\pi^2) \text{ см}^2$

Для более компактной записи можно вынести общий множитель $25\pi$ за скобки:

$S_{полная} = 25\pi(10 + 3\pi) \text{ см}^2$

Ответ: $S_{полная} = (250\pi + 75\pi^2) \text{ см}^2$.