Номер 6.19, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.19 Какая фигура получается вращением многоугольника ABCDEF, изображенного на рисунке 6.15, соседние стороны которого образуют прямые углы, вокруг прямой AF? Найдите площадь поверхности этой фигуры.

Рис. 6.15

Какая фигура получается вращением многоугольника ABCDEF, изображенного на рисунке 6.15, соседние стороны которого образуют прямые углы, вокруг прямой AF?

При вращении многоугольника ABCDEF вокруг прямой AF образуется тело вращения. Эту фигуру можно представить как результат вычитания одного тела вращения из другого. Если достроить многоугольник ABCDEF до прямоугольника с вершинами в точках A, F и (2, 2), (2, 0) (в системе координат, где F=(0,0), A=(0,2)), то при вращении этого большого прямоугольника получится цилиндр радиусом $R=2$ и высотой $H=2$. Исходный многоугольник получается из этого прямоугольника удалением прямоугольника с вершинами в (1,1), (2,1), (2,2), (1,2). При вращении удаляемого прямоугольника вокруг оси AF (ось Y) образуется полый цилиндр (труба) высотой 1, с внешним радиусом 2 и внутренним радиусом 1.

Таким образом, итоговая фигура представляет собой цилиндр радиусом $R=2$ и высотой $H=2$, из верхней части которого соосно вырезан (удален) цилиндр радиусом $r=1$ и высотой $h=1$.

Ответ: Тело вращения, которое представляет собой цилиндр радиусом 2 и высотой 2, из верхней части которого соосно удален цилиндр радиусом 1 и высотой 1.

Найдите площадь поверхности этой фигуры.

Площадь полной поверхности полученной фигуры складывается из площадей поверхностей, образованных вращением отрезков, формирующих границу многоугольника (за исключением отрезка AF, который лежит на оси вращения).

1. Вращение отрезка EF образует нижнее основание фигуры — круг радиусом $R=EF=2$. Площадь этого круга:

$S_1 = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.

2. Вращение отрезка DE образует внешнюю боковую поверхность. Это боковая поверхность цилиндра с радиусом $R=2$ и высотой $h_{DE}=1$. Площадь этой поверхности:

$S_2 = 2\pi R h_{DE} = 2\pi \cdot 2 \cdot 1 = 4\pi$.

3. Вращение отрезка CD образует горизонтальную поверхность в виде кольца ("ступеньку"). Внешний радиус кольца $R=2$, внутренний радиус $r=1$. Площадь этого кольца:

$S_3 = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (2^2 - 1^2) = \pi(4-1) = 3\pi$.

4. Вращение отрезка BC образует внутреннюю боковую поверхность. Это боковая поверхность цилиндра с радиусом $r=1$ и высотой $h_{BC}=1$. Площадь этой поверхности:

$S_4 = 2\pi r h_{BC} = 2\pi \cdot 1 \cdot 1 = 2\pi$.

5. Вращение отрезка AB образует верхнюю поверхность фигуры — круг радиусом $r=AB=1$. Площадь этого круга:

$S_5 = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$.

Полная площадь поверхности фигуры равна сумме площадей всех этих частей:

$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 = 4\pi + 4\pi + 3\pi + 2\pi + \pi = 14\pi$.

Ответ: $14\pi$.