Страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.13 Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, получающегося вращением единичного куба вокруг прямой:

а) $AA_1$;

б) соединяющей центры его противоположных граней (рис. 6.11).

Рис. 6.11

а)

При вращении единичного куба вокруг прямой, содержащей его ребро $AA_1$, образуется цилиндр. Высота этого цилиндра $h$ равна длине ребра $AA_1$. Поскольку куб является единичным, длина его ребра равна 1. Таким образом, $h = 1$.

Радиус основания цилиндра $r$ определяется как максимальное расстояние от точек куба до оси вращения $AA_1$. Наиболее удаленными от прямой $AA_1$ являются точки, лежащие на ребре $CC_1$. Расстояние от любой точки на ребре $CC_1$ до прямой $AA_1$ равно длине диагонали грани куба, например, диагонали $AC$ грани $ABCD$.

Грань $ABCD$ является квадратом со стороной 1. Найдем длину ее диагонали $AC$ по теореме Пифагора:

$r = |AC| = \sqrt{|AB|^2 + |BC|^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$. Подставим значения $r = \sqrt{2}$ и $h = 1$:

$S_{бок} = 2\pi \cdot \sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2}\pi$.

Ответ: $2\sqrt{2}\pi$.

б)

При вращении единичного куба вокруг прямой $a$, которая соединяет центры его противолежащих граней (например, $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$), также образуется цилиндр. Высота этого цилиндра $h$ равна длине ребра куба, так как ось вращения перпендикулярна граням и проходит через их центры. Следовательно, $h = 1$.

Радиус основания цилиндра $r$ равен расстоянию от оси вращения до наиболее удаленных от нее точек куба. В данном случае наиболее удаленными точками являются все вершины куба (например, $A$, $B$, $C$, $D$). Расстояние от оси вращения (центра грани-квадрата) до любой из его вершин равно половине длины диагонали этого квадрата.

Длина диагонали грани единичного куба, как мы выяснили в пункте а), равна $\sqrt{2}$.

Тогда радиус основания цилиндра равен:

$r = \frac{1}{2}|AC| = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра находим по той же формуле $S_{бок} = 2\pi rh$. Подставим значения $r = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $h = 1$:

$S_{бок} = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \sqrt{2}\pi$.

Ответ: $\sqrt{2}\pi$.

6.14 Какая фигура получится при вращении правильной треугольной призмы вокруг прямой:

а) содержащей боковое ребро;

б) проходящей через центры ее оснований (рис. 6.12)?

Рис. 6.12

Для решения задачи определим параметры правильной треугольной призмы. Пусть $a$ — длина стороны основания (равностороннего треугольника), а $h$ — высота призмы (длина бокового ребра). Фигура, получаемая при вращении, является телом вращения.

а) вращении вокруг прямой, содержащей боковое ребро
В качестве оси вращения выберем прямую, содержащую боковое ребро $AA_1$. Поскольку призма прямая, эта ось перпендикулярна плоскостям оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$.
Тело вращения, полученное при вращении призмы, будет иметь одинаковые поперечные сечения в любой плоскости, перпендикулярной оси вращения. Чтобы определить форму этого сечения, рассмотрим вращение основания — треугольника $ABC$ — вокруг вершины $A$, которая лежит на оси вращения.
Каждая точка треугольника $ABC$ при вращении вокруг точки $A$ опишет дугу окружности. Объединение всех таких дуг образует фигуру, которая представляет собой круг. Радиус этого круга определяется максимальным расстоянием от центра вращения (точки $A$) до точек вращаемой фигуры (треугольника $ABC$). В равностороннем треугольнике $ABC$ наиболее удаленными от вершины $A$ являются вершины $B$ и $C$. Расстояние до них равно длине стороны треугольника $a$.
Следовательно, при вращении треугольника $ABC$ вокруг вершины $A$ получается круг радиусом $R = a$.
Так как все поперечные сечения призмы, параллельные основанию, являются равными треугольниками, то при вращении каждого из них будет получаться круг радиуса $a$. Совокупность этих кругов, расположенных на высоте от $0$ до $h$, образует прямой круговой цилиндр.
Таким образом, искомая фигура — это цилиндр, высота которого равна высоте призмы $h$, а радиус основания равен стороне основания призмы $a$.
Ответ: Получится цилиндр с высотой, равной высоте призмы, и радиусом, равным стороне основания призмы.

б) вращении вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований
Ось вращения проходит через центры оснований $O$ и $O_1$. Эта прямая является осью симметрии правильной призмы и перпендикулярна основаниям.
Как и в предыдущем случае, для определения формы тела вращения рассмотрим вращение основания $ABC$ вокруг его центра $O$, который лежит на оси вращения.
При вращении треугольника $ABC$ вокруг своего центра $O$ получается круг. Радиус этого круга определяется максимальным расстоянием от центра $O$ до точек треугольника. Это расстояние равно радиусу описанной окружности $R_{circ}$ для равностороннего треугольника $ABC$.
Радиус описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $R_{circ} = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Следовательно, при вращении основания $ABC$ вокруг центра $O$ получается круг радиусом $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Вращение всей призмы вокруг оси $OO_1$ приводит к образованию прямого кругового цилиндра.
Высота этого цилиндра равна высоте призмы $h$, а радиус его основания равен радиусу описанной окружности основания призмы, то есть $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Ответ: Получится цилиндр с высотой, равной высоте призмы, и радиусом, равным радиусу окружности, описанной около основания призмы ($R = \frac{a}{\sqrt{3}}$, где $a$ - сторона основания).

6.15 Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, получающегося вращением правильной треугольной призмы, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой:

a) содержащей боковое ребро;

б) проходящей через центры ее оснований (рис. 6.12).

Рис. 6.12

$A, B, C, A_1, B_1, C_1, a$

По условию задачи мы имеем правильную треугольную призму, все ребра которой равны 1 см. Это означает, что в основании призмы ($ABC$ и $A_1B_1C_1$) лежат равносторонние треугольники со стороной $a = 1$ см, а высота призмы (длина бокового ребра) также равна $h = 1$ см.

Формула для площади боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2 \pi R H$, где $R$ - радиус основания цилиндра, а $H$ - его высота.

а) содержащей боковое ребро

Рассмотрим вращение призмы вокруг прямой, содержащей боковое ребро, например, $CC_1$.

При вращении призмы вокруг одного из ее боковых ребер образуется цилиндр. Высота этого цилиндра $H$ будет равна длине бокового ребра, то есть $H = h = 1$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ будет равен наибольшему расстоянию от точек призмы до оси вращения. В данном случае это расстояние от оси $CC_1$ до вершин $A$ или $B$ (или любой точки на ребрах $AA_1$ и $BB_1$). Это расстояние равно длине стороны основания, так как треугольник $ABC$ - равносторонний. Таким образом, $R = AC = BC = a = 1$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности полученного цилиндра:

$S_{бок} = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot 1 \cdot 1 = 2\pi$ (см²).

Ответ: $2\pi$ см².

б) проходящей через центры ее оснований

Рассмотрим вращение призмы вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований. Эта прямая является осью симметрии призмы.

Высота полученного цилиндра $H$ будет равна высоте призмы, то есть $H = h = 1$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ будет равен расстоянию от оси вращения до любого из боковых ребер ($AA_1$, $BB_1$ или $CC_1$). Это расстояние равно радиусу окружности, описанной около треугольника основания. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Так как сторона основания $a = 1$ см, радиус будет равен:

$R = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности полученного цилиндра:

$S_{бок} = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 = \frac{2\pi\sqrt{3}}{3}$ (см²).

Ответ: $\frac{2\pi\sqrt{3}}{3}$ см².

6.16 Какая фигура получится при вращении правильной шестиугольной призмы вокруг прямой:
а) содержащей боковое ребро;

б) проходящей через центры ее оснований (рис. 6.13)?

$A$, $A_1$, $B$, $B_1$, $C$, $C_1$, $D$, $D_1$, $E$, $E_1$, $F$, $F_1$

Рис. 6.13

а) Пусть правильная шестиугольная призма имеет сторону основания $a$ и высоту $h$. Осью вращения является прямая, содержащая одно из боковых ребер, например, ребро $AA_1$.

Тело вращения, которое получится в результате, будет ограничено поверхностью, образованной вращением наиболее удаленных от оси точек призмы. Для оси, проходящей через ребро $AA_1$, наиболее удаленным является противоположное боковое ребро $DD_1$.

Расстояние между параллельными прямыми $AA_1$ и $DD_1$ равно длине большой диагонали $AD$ правильного шестиугольника в основании. Длина большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$.

При вращении ребро $DD_1$ опишет цилиндрическую поверхность с радиусом $R=2a$ и высотой, равной высоте призмы $h$. Поскольку призма является сплошным телом, а ось вращения принадлежит его границе, то все пространство внутри этой цилиндрической поверхности будет заполнено. Таким образом, итоговая фигура — это сплошной цилиндр.

Ответ: Цилиндр, радиус основания которого равен большой диагонали основания призмы ($R=2a$), а высота равна высоте призмы.

б) В этом случае осью вращения является прямая, проходящая через центры оснований призмы. Эта прямая является осью симметрии призмы.

Внешняя граница тела вращения определяется вращением наиболее удаленных от оси точек призмы. В данном случае это точки, лежащие на боковых ребрах ($AA_1, BB_1$ и т.д.). Расстояние от оси до любого бокового ребра равно радиусу описанной около основания окружности. Для правильного шестиугольника со стороной $a$ этот радиус равен самой стороне: $R_{внешн} = a$. Вращение этих ребер образует внешнюю цилиндрическую поверхность радиусом $a$ и высотой $h$.

Внутренняя граница тела вращения (если она существует) определяется вращением ближайших к оси точек призмы. Ближайшими к оси точками на боковой поверхности призмы являются вертикальные линии, проходящие по серединам боковых граней. Расстояние от этих линий до оси вращения равно радиусу вписанной в основание окружности (апофеме). Для правильного шестиугольника со стороной $a$ апофема равна $R_{внутр} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Вращение этих линий образует внутреннюю цилиндрическую поверхность.

Поскольку $R_{внутр} > 0$, внутри тела вращения образуется полость. Таким образом, итоговая фигура представляет собой тело, заключенное между двумя соосными цилиндрами. Такая фигура называется полым цилиндром или цилиндрической оболочкой.

Ответ: Полый цилиндр, внешний радиус которого равен стороне основания призмы ($R_{внешн} = a$), внутренний радиус равен апофеме основания ($R_{внутр} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$), а высота равна высоте призмы.

6.17 Найдите площадь поверхности цилиндра, получающегося вращением правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой:

а) содержащей боковое ребро;

б) проходящей через центры ее оснований (рис. 6.13).

Рис. 6.13

а) содержащей боковое ребро

По условию задачи дана правильная шестиугольная призма, у которой все ребра равны 1 см. Это значит, что сторона основания (правильного шестиугольника) $a = 1$ см, и высота призмы $h_{призмы}$, равная длине бокового ребра, также составляет 1 см.

При вращении призмы вокруг прямой, содержащей одно из ее боковых ребер (например, ребро $AA_1$), получается цилиндр. Высота этого цилиндра $h$ будет равна высоте призмы, то есть $h = h_{призмы} = 1$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ определяется как максимальное расстояние от оси вращения до любой точки призмы. Наиболее удаленными от оси вращения (ребра $AA_1$) будут точки, лежащие на противоположном ребре $DD_1$. Расстояние от оси $AA_1$ до ребра $DD_1$ равно длине большой диагонали шестиугольного основания, то есть расстоянию между вершинами $A$ и $D$.

В правильном шестиугольнике большая диагональ в два раза длиннее его стороны. Следовательно, радиус цилиндра равен:

$R = AD = 2a = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра находится по формуле $S = 2\pi R(h + R)$. Подставим найденные значения высоты и радиуса:

$S = 2\pi \cdot 2 (1 + 2) = 4\pi \cdot 3 = 12\pi$ см².

Ответ: $12\pi$ см².

б) проходящей через центры ее оснований

В этом случае призма вращается вокруг прямой, соединяющей центры ее оснований. Эта прямая является осью симметрии призмы. Высота цилиндра $h$, образующегося при таком вращении, также равна высоте призмы: $h = 1$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ будет равен расстоянию от оси вращения до самой удаленной от нее точки призмы. В данном случае наиболее удаленными точками являются все вершины призмы ($A, B, C, D, E, F$ и $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$). Расстояние от центра правильного шестиугольника до любой из его вершин равно длине стороны шестиугольника.

Следовательно, радиус цилиндра равен:

$R = a = 1$ см.

Такой цилиндр называется описанным около призмы. Найдем площадь его полной поверхности по формуле $S = 2\pi R(h + R)$:

$S = 2\pi \cdot 1 (1 + 1) = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$ см².

Ответ: $4\pi$ см².

6.18. Юрта — древнейшее и в то же время современное жилище кочевников (рис. 6.14). Найдите площадь поверхности кереге (круглая вертикальная стена в форме боковой поверхности цилиндра), если ее диаметр 5 м, а высота равна 2 м.

Рис. 6.14

6.18. Кереге, круглая вертикальная стена юрты, по условию задачи имеет форму боковой поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле, использующей длину окружности основания ($C$) и высоту ($h$): $S_{бок} = C \cdot h$.

Длину окружности можно найти через диаметр ($d$) по формуле $C = \pi d$. Таким образом, формула для площади боковой поверхности цилиндра принимает вид: $S_{бок} = \pi d h$.

В условии задачи даны следующие значения:
Диаметр: $d = 5$ м
Высота: $h = 2$ м

Подставим эти значения в формулу:
$S_{бок} = \pi \cdot 5 \text{ м} \cdot 2 \text{ м} = 10\pi \text{ м}^2$.

Ответ: $10\pi \text{ м}^2$.