Страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.22. Какая фигура получится при вращении октаэдра вокруг прямой, соединяющей его противоположные вершины (рис. 7.13). Найдите площадь ее поверхности, считая ребро октаэдра равным 1 см.

Рис. 7.13

Какая фигура получится при вращении октаэдра вокруг прямой, соединяющей его противолежащие вершины?

Правильный октаэдр можно представить как две одинаковые правильные четырехугольные пирамиды, соединенные своими квадратными основаниями. Прямая, соединяющая противолежащие вершины октаэдра, о которой идет речь в задаче, является осью симметрии и проходит через вершины этих двух пирамид.

При вращении октаэдра вокруг этой прямой каждая из двух пирамид образует тело вращения. Боковая поверхность каждой пирамиды, состоящая из четырех треугольных граней, при вращении формирует боковую поверхность конуса. Вершина пирамиды становится вершиной конуса, а ребра, идущие от вершины к основанию пирамиды, становятся образующими конуса. Основание конуса — это круг, описанный вокруг квадратного основания пирамиды.

Таким образом, фигура, полученная в результате вращения всего октаэдра, будет состоять из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями.

Ответ: Фигура, полученная при вращении, представляет собой два одинаковых конуса, соединенных общим основанием.

Найдите площадь ее поверхности, считая ребро октаэдра равным 1 см.

Площадь поверхности полученной фигуры вращения — это сумма площадей боковых поверхностей двух конусов. Площадь боковой поверхности одного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — это радиус основания конуса, а $l$ — длина его образующей.

Образующая конуса $l$ совпадает с ребром октаэдра, так как именно боковые ребра пирамид (являющиеся ребрами октаэдра) формируют коническую поверхность. По условию задачи, длина ребра октаэдра $a = 1$ см. Следовательно, образующая $l = a = 1$ см.

Радиус общего основания конусов $r$ равен радиусу окружности, описанной вокруг квадрата, который образуют четыре вершины октаэдра, не лежащие на оси вращения. Сторона этого квадрата также равна ребру октаэдра, то есть $a = 1$ см. Радиус $r$ равен половине длины диагонали этого квадрата.

Найдем диагональ $d$ квадрата со стороной $a$ по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Следовательно, радиус основания конуса $r = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Подставив значение $a = 1$ см, получаем $r = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности одного конуса:$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{2}}{2}$ см².

Поскольку фигура состоит из двух таких конусов, общая площадь ее поверхности $S$ будет вдвое больше:$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{2}}{2} = \pi\sqrt{2}$ см².

Ответ: Площадь поверхности фигуры вращения равна $\pi\sqrt{2}$ см².

7.23. Найдите радиус основания конуса, разверт-кой боковой поверхности которого является полукруг радиусом 1 см.

Разверткой боковой поверхности конуса является сектор круга. Радиус этого сектора равен образующей конуса, которую мы обозначим как $L$. Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса.

По условию задачи, развертка боковой поверхности представляет собой полукруг радиусом 1 см. Это означает, что образующая конуса $L$ равна радиусу этого полукруга:

$L = 1$ см.

Длина дуги развертки (полукруга) вычисляется как половина длины окружности с радиусом $L$. Обозначим длину дуги как $C_{дуги}$:

$C_{дуги} = \frac{1}{2} \cdot (2\pi L) = \pi L$

Подставив значение $L = 1$ см, получим:

$C_{дуги} = \pi \cdot 1 = \pi$ см.

Длина окружности основания конуса, радиус которого мы ищем (обозначим его как $r$), вычисляется по формуле:

$C_{осн} = 2\pi r$

Поскольку при сворачивании развертки в конус дуга сектора становится окружностью основания, их длины равны:

$C_{осн} = C_{дуги}$

Приравняем выражения для длин:

$2\pi r = \pi$

Чтобы найти радиус основания $r$, разделим обе части уравнения на $2\pi$:

$r = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2} = 0,5$ см.

Ответ: 0,5 см.

7.24. Радиус основания конуса равен 1 см, образующая равна 3 см. Найдите центральный угол развертки боковой поверхности этого конуса.

Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$, а длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса $C$.

По условию задачи, радиус основания конуса $r = 1$ см, а его образующая $l = 3$ см.

Длина окружности основания конуса вычисляется по формуле $C = 2\pi r$. Подставив значение радиуса, получим:
$C = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$ см.

Эта величина равна длине дуги сектора развертки. Радиус этого сектора равен образующей конуса, то есть $R_{сектора} = l = 3$ см.

Центральный угол сектора $\alpha$ можно найти, используя соотношение между радиусом основания конуса $r$, его образующей $l$ и полным углом в $360^\circ$. Отношение центрального угла развертки к $360^\circ$ равно отношению радиуса основания к образующей:
$\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{r}{l}$

Подставим известные значения в эту формулу:
$\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{1}{3}$

Отсюда выразим и найдем центральный угол $\alpha$:
$\alpha = \frac{1}{3} \cdot 360^\circ = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$

развертки боковой поверхности этого конуса.

7.25. Крыша силосой башни имеет форму конуса. Высота крыши — 2 м. Диаметр основания башни — 6 м. Сколько листов кровельного железа потребовалось для покрытия крыши, если лист имеет размеры 0,7 х 1,4, а на швы идет 10% требующегося железа? (Примите $\pi \approx 3$).

Для решения задачи сперва необходимо найти площадь поверхности крыши, которую нужно покрыть. Крыша представляет собой конус, поэтому искомая площадь — это площадь его боковой поверхности.

1. Найдем радиус основания конуса ($r$). Диаметр основания ($d$) равен 6 м, значит радиус равен его половине:$r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3$ м.

2. Найдем длину образующей конуса ($l$). Высота конуса ($h = 2$ м), радиус основания ($r = 3$ м) и образующая ($l$) образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора:$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ м.

3. Вычислим площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$), то есть полезную площадь крыши. Используем формулу $S_{бок} = \pi r l$ и заданное в условии приближение $\pi \approx 3$:$S_{бок} \approx 3 \cdot 3 \cdot \sqrt{13} = 9\sqrt{13}$ м².

4. Определим общую площадь кровельного железа ($S_{общ}$), которая потребуется с учетом отходов. По условию, на швы уходит 10% от требующегося железа. Это означает, что полезная площадь материала (которая пойдет непосредственно на крышу) составляет $100\% - 10\% = 90\%$ от общего количества купленного железа. Таким образом:$S_{бок} = 0.9 \cdot S_{общ}$Отсюда выразим общую площадь железа:$S_{общ} = \frac{S_{бок}}{0.9} = \frac{9\sqrt{13}}{0.9} = 10\sqrt{13}$ м².

5. Найдем площадь одного листа кровельного железа ($S_{лист}$):$S_{лист} = 0.7 \text{ м} \times 1.4 \text{ м} = 0.98$ м².

6. Рассчитаем, сколько листов железа ($N$) потребуется. Для этого разделим общую требуемую площадь железа на площадь одного листа:$N = \frac{S_{общ}}{S_{лист}} = \frac{10\sqrt{13}}{0.98}$.Для вычисления возьмем приближенное значение $\sqrt{13} \approx 3.606$:$N \approx \frac{10 \cdot 3.606}{0.98} = \frac{36.06}{0.98} \approx 36.796$.

Поскольку листы железа продаются целиком, необходимое количество нужно округлить в большую сторону до ближайшего целого числа, чтобы материала хватило.

Ответ: 37 листов.

7.26. Найдите площадь поверхности кучи песка на строительной площадке, имеющей форму конуса (рис.7.14). Измерив мягкой метровой лентой длину окружности основания кучи песка, получили 21,6 м. Перекинув метровую ленту через вершину кучи, определили длину двух образующих — 7,8 м. (Примите $\pi \approx 3$).

Рис. 13.17

7.26. Для того чтобы найти площадь поверхности кучи песка, нужно вычислить площадь боковой поверхности конуса, так как основание кучи находится на земле.

Формула для вычисления площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ – это радиус основания, а $l$ – длина образующей конуса.

1. Сначала определим длину образующей $l$. Согласно условию, длина двух образующих, измеренная лентой через вершину, составляет 7,8 м. Следовательно, длина одной образующей равна половине этого значения:
$l = 7,8 \text{ м} \div 2 = 3,9 \text{ м}$.

2. Далее найдем радиус основания конуса $r$. Нам дана длина окружности основания $C = 21,6$ м. Формула длины окружности: $C = 2 \pi r$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3$, как указано в условии.
Подставим известные значения в формулу:
$21,6 = 2 \cdot 3 \cdot r$
$21,6 = 6r$
Теперь найдем радиус:
$r = 21,6 \div 6 = 3,6 \text{ м}$.

3. Теперь у нас есть все необходимые данные для расчета площади боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi r l$
$S_{бок} = 3 \cdot 3,6 \cdot 3,9$
$S_{бок} = 10,8 \cdot 3,9$
$S_{бок} = 42,12 \text{ м}^2$.

Ответ: $42,12 \text{ м}^2$.

7.27. Меруерт хотела на день рождения изготовить из бумаги 8 головных уборов, имеющих форму конуса, высота которого 8 см, а радиус основания — 6 см. Сколько бумаги (в $см^2$) ей потребуется для изготовления этих головных уборов? (Примите $\pi \approx 3$).

Для решения этой задачи необходимо найти общую площадь бумаги, требуемой для изготовления 8 конических головных уборов. Так как головной убор представляет собой конус без основания, нам нужно найти площадь боковой поверхности одного конуса и умножить ее на 8.

1. Нахождение образующей конуса.

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей. В задаче даны высота конуса $h = 8$ см и радиус основания $r = 6$ см. Образующую $l$ можно найти по теореме Пифагора, так как высота, радиус и образующая образуют прямоугольный треугольник:

$l^2 = r^2 + h^2$

Подставляем известные значения:

$l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

2. Вычисление площади одного головного убора.

Теперь, зная радиус $r = 6$ см и образующую $l = 10$ см, мы можем вычислить площадь боковой поверхности одного конуса. Используем приближенное значение $\pi \approx 3$, как указано в условии:

$S_{бок} = \pi r l \approx 3 \times 6 \times 10 = 180$ см².

3. Вычисление общей площади бумаги.

Для изготовления 8 головных уборов потребуется в 8 раз больше бумаги, чем для одного:

$S_{общ} = S_{бок} \times 8 = 180 \text{ см}² \times 8 = 1440 \text{ см}²$.

Ответ: для изготовления этих головных уборов потребуется 1440 см² бумаги.

7.28. Повторите определение кругового кольца и формулу его площади.

Определение кругового кольца. Круговое кольцо — это плоская геометрическая фигура, ограниченная двумя концентрическими окружностями (то есть окружностями с общим центром). Эта фигура представляет собой область между большей окружностью с радиусом $R$ и меньшей окружностью с радиусом $r$, при условии, что $R > r$. Любая точка, принадлежащая кольцу, удалена от общего центра на расстояние $d$, для которого справедливо неравенство $r \le d \le R$.Ответ: Круговое кольцо — это геометрическая фигура на плоскости, ограниченная двумя окружностями с общим центром и радиусами $R$ и $r$ ($R>r$).

Формула площади кругового кольца. Площадь кругового кольца вычисляется как разность площадей большего и меньшего кругов, которые его образуют. Площадь круга определяется формулой $S_{круга} = \pi \cdot (\text{радиус})^2$. Таким образом, площадь большого круга равна $S_R = \pi R^2$, а площадь малого круга равна $S_r = \pi r^2$. Площадь кольца $S$ является разностью этих площадей: $S = S_R - S_r = \pi R^2 - \pi r^2$. Вынося общий множитель $\pi$ за скобки, получаем итоговую формулу.Ответ: $S = \pi (R^2 - r^2)$, где $S$ — площадь кольца, $R$ — радиус внешней окружности, а $r$ — радиус внутренней окружности.