Страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция.

Усеченный конус — это тело вращения, которое образуется при вращении прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Осевое сечение усеченного конуса — это сечение, проходящее через его ось вращения.

Рассмотрим усеченный конус и его осевое сечение. Пусть $r$ и $R$ — радиусы верхнего и нижнего оснований ($r < R$), а $h$ — высота конуса. Осевое сечение проходит через ось конуса и пересекает основания по их диаметрам. Пусть сечение представляет собой четырехугольник $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — диаметры нижнего и верхнего оснований соответственно. Тогда $AD=2R$, а $BC=2r$.

Докажем, что четырехугольник $ABCD$ является равнобедренной трапецией.

Сначала докажем, что $ABCD$ — трапеция. Основания усеченного конуса лежат в параллельных плоскостях. Следовательно, их диаметры $AD$ и $BC$, которые лежат в плоскости сечения, также параллельны друг другу ($AD \parallel BC$). Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, является трапецией. Таким образом, $ABCD$ — это трапеция с основаниями $AD$ и $BC$.

Теперь докажем, что эта трапеция является равнобедренной. Для этого нужно показать, что ее боковые стороны $AB$ и $CD$ равны. Эти стороны являются образующими усеченного конуса. Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Длина этих высот равна высоте усеченного конуса, то есть $BH = CK = h$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$. Осевое сечение симметрично относительно оси конуса. Из-за этой симметрии отрезки $AH$ и $KD$, на которые высоты делят большее основание, равны. Найдем их длину. Отрезок $HK$ соответствует верхнему диаметру, так как фигура $BCKH$ является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 2r$. Длина нижнего основания $AD = 2R$. Так как $AD = AH + HK + KD$ и $AH=KD$, мы можем записать: $2R = 2AH + 2r$. Из этого уравнения находим $2AH = 2R - 2r$, что дает $AH = R - r$. Соответственно, $KD = R - r$.

Применим теорему Пифагора для нахождения длин боковых сторон (образующих) $AB$ и $CD$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABH$:$AB^2 = BH^2 + AH^2 = h^2 + (R-r)^2$

В прямоугольном треугольнике $\triangle DCK$:$CD^2 = CK^2 + KD^2 = h^2 + (R-r)^2$

Сравнивая выражения для $AB^2$ и $CD^2$, мы видим, что они равны. Так как длина отрезка — положительная величина, отсюда следует, что $AB = CD$.

Мы доказали, что боковые стороны трапеции $ABCD$ равны. Следовательно, эта трапеция является равнобедренной. Что и требовалось доказать.

Ответ: Осевое сечение усеченного конуса является равнобедренной трапецией. Основаниями этой трапеции являются диаметры оснований конуса. Так как плоскости оснований конуса параллельны, их диаметры в плоскости сечения также параллельны, что определяет фигуру как трапецию. Боковыми сторонами трапеции являются образующие усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса имеют одинаковую длину, поэтому боковые стороны трапеции равны, что делает ее равнобедренной.

Можно ли получить усеченный конус вращением неравнобедренной трапеции?

Да, можно. Усеченный конус представляет собой тело вращения, и его можно получить, вращая определенную плоскую фигуру вокруг оси.

Классическим способом получения усеченного конуса является вращение прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, которая перпендикулярна основаниям. Давайте проанализируем, является ли такая трапеция равнобедренной.

Рассмотрим прямоугольную трапецию. У нее есть два параллельных основания, которые при вращении образуют основания усеченного конуса. Пусть их длины (которые станут радиусами) равны $R$ и $r$, где $R \neq r$. Одна из боковых сторон перпендикулярна этим основаниям. Ее длина равна высоте трапеции, обозначим ее как $h$. Эта сторона является осью вращения.

Вторая боковая сторона является наклонной. Обозначим ее длину как $l$. Эта сторона при вращении образует боковую поверхность усеченного конуса.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны. В нашем случае боковые стороны имеют длины $h$ и $l$. Чтобы найти связь между ними, можно рассмотреть прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является сторона $l$, а катетами — высота $h$ и отрезок, равный разности радиусов оснований $(R - r)$.

По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R - r)^2$

Отсюда длина наклонной боковой стороны равна:

$l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}$

Поскольку для усеченного конуса основания не равны ($R \neq r$), то разность $(R - r)$ не равна нулю, а ее квадрат $(R - r)^2$ является строго положительной величиной. Следовательно:

$l = \sqrt{h^2 + \text{положительное число}} > \sqrt{h^2} = h$

Мы видим, что $l > h$. Так как длины боковых сторон не равны, то прямоугольная трапеция не является равнобедренной (за исключением вырожденного случая, когда $R=r$, и трапеция становится прямоугольником, а тело вращения — цилиндром).

Таким образом, усеченный конус получается вращением неравнобедренной (а именно, прямоугольной) трапеции.

Ответ: да, можно, если вращать прямоугольную трапецию (которая является видом неравнобедренной трапеции) вокруг стороны, перпендикулярной основаниям.