Страница 55 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какая фигура называется усеченным конусом?

2. Что называется основаниями усеченного конуса?

3. Что называется высотой усеченного конуса?

4. Что называется осью усеченного конуса?

5. Что называется осевым сечением усеченного конуса?

6. Какая фигура называется разверткой усеченного конуса?

7. Что называется площадью поверхности усеченного конуса?

8. Что называется площадью боковой поверхности усеченного конуса?

9. Выведите формулу площади боковой поверхности усеченного конуса.

10. Выведите формулу площади полной поверхности усеченного конуса.

1. Какая фигура называется усеченным конусом?

Усеченным конусом называется геометрическое тело, которое образуется при вращении прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Другое определение: усеченный конус — это часть конуса, заключенная между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.
Ответ: Тело, полученное вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям, или часть конуса между основанием и секущей плоскостью, параллельной ему.

2. Что называется основаниями усеченного конуса?

Основаниями усеченного конуса называются два круга, которые ограничивают это тело. Один круг является основанием исходного конуса, а второй — сечением, образованным плоскостью, параллельной основанию. Эти круги лежат в параллельных плоскостях.
Ответ: Два круга, ограничивающие усеченный конус, лежащие в параллельных плоскостях.

3. Что называется высотой усеченного конуса?

Высотой усеченного конуса называется отрезок, соединяющий центры его оснований и перпендикулярный им. Длина этого отрезка также называется высотой и представляет собой расстояние между плоскостями оснований.
Ответ: Отрезок, соединяющий центры оснований и перпендикулярный им.

4. Что называется осью усеченного конуса?

Осью усеченного конуса называется прямая, проходящая через центры его оснований. Ось усеченного конуса совпадает с осью исходного конуса, из которого он был получен.
Ответ: Прямая, проходящая через центры его оснований.

5. Что называется осевым сечением усеченного конуса?

Осевым сечением усеченного конуса называется сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось. Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса, а боковые стороны — образующим конуса.
Ответ: Равнобедренная трапеция, полученная при сечении конуса плоскостью, проходящей через его ось.

6. Какая фигура называется разверткой усеченного конуса?

Разверткой усеченного конуса называется плоская фигура, состоящая из развертки его боковой поверхности и двух его оснований. Развертка боковой поверхности представляет собой часть кругового кольца (сектор кольца), а основания — два круга разных радиусов.
Ответ: Фигура, состоящая из двух кругов (оснований) и части кругового кольца (развертки боковой поверхности).

7. Что называется площадью поверхности усеченного конуса?

Площадью полной поверхности усеченного конуса называется сумма площадей его боковой поверхности и площадей двух его оснований.
Ответ: Сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований.

8. Что называется площадью боковой поверхности усеченного конуса?

Площадью боковой поверхности усеченного конуса называется площадь его криволинейной части, то есть поверхности, образованной вращением боковой стороны прямоугольной трапеции (образующей).
Ответ: Площадь криволинейной поверхности, соединяющей окружности оснований.

9. Выведите формулу площади боковой поверхности усеченного конуса.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти как разность площадей боковых поверхностей полного конуса и малого конуса, который отсекается от полного.
Пусть $R$ и $r$ — радиусы оснований усеченного конуса ($R > r$), а $l$ — его образующая.
Достроим усеченный конус до полного. Пусть $L_1$ — образующая полного конуса, а $L_2$ — образующая отсеченного малого конуса. Тогда $l = L_1 - L_2$.
Площадь боковой поверхности полного конуса $S_1 = \pi R L_1$.
Площадь боковой поверхности малого конуса $S_2 = \pi r L_2$.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_{бок} = S_1 - S_2 = \pi R L_1 - \pi r L_2$.
Из подобия треугольников в осевом сечении следует: $\frac{r}{R} = \frac{L_2}{L_1}$, откуда $L_2 = L_1 \frac{r}{R}$.
Подставим это в выражение для $l$: $l = L_1 - L_1 \frac{r}{R} = L_1 (1 - \frac{r}{R}) = L_1 \frac{R-r}{R}$.
Выразим $L_1$ и $L_2$ через $l$, $R$ и $r$:
$L_1 = \frac{lR}{R-r}$
$L_2 = L_1 - l = \frac{lR}{R-r} - l = \frac{lR - l(R-r)}{R-r} = \frac{lr}{R-r}$.
Теперь подставим $L_1$ и $L_2$ в формулу для $S_{бок}$:
$S_{бок} = \pi R \left(\frac{lR}{R-r}\right) - \pi r \left(\frac{lr}{R-r}\right) = \frac{\pi l R^2 - \pi l r^2}{R-r} = \frac{\pi l (R^2 - r^2)}{R-r}$.
Используя формулу разности квадратов $R^2 - r^2 = (R-r)(R+r)$, получаем:
$S_{бок} = \frac{\pi l (R-r)(R+r)}{R-r} = \pi l (R+r)$.
Ответ: $S_{бок} = \pi l (R+r)$, где $R$ и $r$ — радиусы оснований, $l$ — образующая.

10. Выведите формулу площади полной поверхности усеченного конуса.

Площадь полной поверхности усеченного конуса $S_{полн}$ равна сумме площади его боковой поверхности $S_{бок}$ и площадей двух его оснований: большего $S_{осн1}$ и меньшего $S_{осн2}$.
Площадь большего основания (круга радиусом $R$): $S_{осн1} = \pi R^2$.
Площадь меньшего основания (круга радиусом $r$): $S_{осн2} = \pi r^2$.
Площадь боковой поверхности, как было выведено в предыдущем пункте, равна $S_{бок} = \pi l (R+r)$, где $l$ — образующая усеченного конуса.
Складывая эти три площади, получаем формулу для площади полной поверхности:
$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн1} + S_{осн2} = \pi l (R+r) + \pi R^2 + \pi r^2$.
Ответ: $S_{полн} = \pi l (R+r) + \pi R^2 + \pi r^2$, где $R$ и $r$ — радиусы оснований, $l$ — образующая.

8.1. На листе бумаги в клетку изобразите усеченный конус, аналогичный данному на рисунке 8.4. Изобразите его осевое сечение.

Рис. 8.4

Чтобы изобразить усеченный конус, аналогичный представленному на рисунке, необходимо сначала определить его ключевые размеры по клеткам. Из рисунка видно, что:

• Высота конуса $h$ составляет 4 клетки.

• Радиус верхнего основания $r$ равен 2 клеткам (соответственно, диаметр $d=4$ клетки).

• Радиус нижнего основания $R$ равен 4 клеткам (соответственно, диаметр $D=8$ клеток).

Построение на листе в клетку включает следующие шаги: рисуются два основания в форме эллипсов, центры которых расположены на одной вертикальной оси на расстоянии 4 клеток друг от друга. Горизонтальный диаметр верхнего эллипса равен 4 клеткам, а нижнего — 8 клеткам. Затем крайние точки оснований соединяются прямыми линиями, образуя боковую поверхность. Невидимая часть нижнего основания изображается пунктирной линией.

Ниже представлено графическое изображение такого конуса на сетке:

Ответ: Изображение усеченного конуса с высотой 4 клетки, радиусом верхнего основания 2 клетки и радиусом нижнего основания 4 клетки представлено на рисунке выше.

Осевое сечение усеченного конуса — это фигура, которая образуется при пересечении конуса плоскостью, проходящей через его ось вращения. Эта фигура является равнобокой трапецией.

Размеры этой трапеции определяются параметрами конуса:

• Основания трапеции равны диаметрам оснований конуса. Для нашего случая нижнее основание равно $D = 2R = 2 \cdot 4 = 8$ клеток, а верхнее — $d = 2r = 2 \cdot 2 = 4$ клетки.

• Высота трапеции равна высоте конуса, то есть $h = 4$ клетки.

Ниже представлено изображение осевого сечения на сетке:

Ответ: Осевым сечением данного усеченного конуса является равнобокая трапеция с основаниями 8 клеток и 4 клетки и высотой 4 клетки. Изображение сечения представлено выше.

8.2. Сколько образующих имеет усеченный конус?

8.2. Усеченный конус, как и полный конус, является телом, боковая поверхность которого состоит из образующих. Образующая усеченного конуса — это отрезок, который соединяет соответственные точки на окружностях его верхнего и нижнего оснований. Поскольку каждая окружность основания состоит из бесконечного множества точек, то и число отрезков (образующих), которые можно провести между окружностями оснований, также бесконечно. Все образующие усеченного конуса равны между собой по длине.
Ответ: Усеченный конус имеет бесконечно много образующих.

8.3. Какой фигурой является сечение конуса плоскостью, параллельной основанию?

8.3. Сечение конуса плоскостью, параллельной его основанию, является фигурой, подобной основанию. Поскольку основание конуса — это круг, то и сечение будет кругом, но меньшего радиуса.

Докажем это. Пусть дан конус с вершиной в точке $S$, высотой $SO$ и радиусом основания $R=OA$, где $O$ — центр основания, а $A$ — точка на окружности основания. Проведем секущую плоскость $\alpha$, параллельную плоскости основания, на расстоянии $h$ от вершины (то есть $SO_1=h$, где $O_1$ — точка пересечения плоскости $\alpha$ с высотой $SO$). Эта плоскость пересечет образующую $SA$ в некоторой точке $A_1$.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle SOA$ и $\triangle SO_1A_1$. Они оба прямоугольные, так как высота $SO$ перпендикулярна основанию. Угол при вершине $S$ у них общий. Следовательно, треугольники $\triangle SOA$ и $\triangle SO_1A_1$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$ \frac{SO_1}{SO} = \frac{O_1A_1}{OA} $

Пусть радиус сечения равен $r=O_1A_1$, а высота всего конуса равна $H=SO$. Тогда мы можем записать:

$ \frac{h}{H} = \frac{r}{R} $

Отсюда мы можем выразить радиус сечения:

$ r = R \cdot \frac{h}{H} $

Так как для любой точки на линии сечения величины $R$, $H$ и $h$ являются постоянными, то и радиус $r$ будет постоянной величиной. Это означает, что все точки линии пересечения плоскости и боковой поверхности конуса находятся на одинаковом расстоянии $r$ от точки $O_1$. Фигура, образованная этими точками, является окружностью, а само сечение — кругом.

Ответ: кругом.

8.4. Какая фигура получается вращением равнобедренной трапеции вокруг прямой, проходящей через середины ее оснований (рис. 8.5)?

$A$, $B$, $C$, $D$, $a$

Рис. 8.5

При вращении равнобедренной трапеции вокруг прямой, проходящей через середины ее оснований, получается объемная фигура, называемая телом вращения. Проанализируем, как преобразуются элементы трапеции в процессе этого вращения.

Ось вращения, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, является ее осью симметрии. Пусть основаниями трапеции являются отрезки AB и CD.

Верхнее, меньшее основание трапеции (отрезок CD) при вращении вокруг оси образует круг. Этот круг будет являться верхним основанием получившейся фигуры. Радиус этого круга $r_1$ равен половине длины основания CD.

Нижнее, большее основание трапеции (отрезок AB) при вращении также образует круг, но большего радиуса. Этот круг будет нижним основанием фигуры. Его радиус $r_2$ равен половине длины AB. Плоскости верхнего и нижнего оснований параллельны, так как они перпендикулярны оси вращения.

Каждая из боковых сторон трапеции (например, AD), будучи наклонной к оси вращения, при вращении описывает боковую поверхность тела вращения. Эта поверхность соединяет края верхнего и нижнего оснований-кругов.

Геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными кругами разного радиуса (основаниями) и боковой конической поверхностью, называется усеченным конусом.

Ответ: Усеченный конус.