Номер 8.3, страница 55 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.3. Какой фигурой является сечение конуса плоскостью, параллельной основанию?

8.3. Сечение конуса плоскостью, параллельной его основанию, является фигурой, подобной основанию. Поскольку основание конуса — это круг, то и сечение будет кругом, но меньшего радиуса.

Докажем это. Пусть дан конус с вершиной в точке $S$, высотой $SO$ и радиусом основания $R=OA$, где $O$ — центр основания, а $A$ — точка на окружности основания. Проведем секущую плоскость $\alpha$, параллельную плоскости основания, на расстоянии $h$ от вершины (то есть $SO_1=h$, где $O_1$ — точка пересечения плоскости $\alpha$ с высотой $SO$). Эта плоскость пересечет образующую $SA$ в некоторой точке $A_1$.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle SOA$ и $\triangle SO_1A_1$. Они оба прямоугольные, так как высота $SO$ перпендикулярна основанию. Угол при вершине $S$ у них общий. Следовательно, треугольники $\triangle SOA$ и $\triangle SO_1A_1$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$ \frac{SO_1}{SO} = \frac{O_1A_1}{OA} $

Пусть радиус сечения равен $r=O_1A_1$, а высота всего конуса равна $H=SO$. Тогда мы можем записать:

$ \frac{h}{H} = \frac{r}{R} $

Отсюда мы можем выразить радиус сечения:

$ r = R \cdot \frac{h}{H} $

Так как для любой точки на линии сечения величины $R$, $H$ и $h$ являются постоянными, то и радиус $r$ будет постоянной величиной. Это означает, что все точки линии пересечения плоскости и боковой поверхности конуса находятся на одинаковом расстоянии $r$ от точки $O_1$. Фигура, образованная этими точками, является окружностью, а само сечение — кругом.

Ответ: кругом.