Номер 8.10, страница 56 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.10. Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 4 см. Через середину высоты этого усеченного конуса проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь получившегося сечения.

Пусть радиусы оснований усеченного конуса равны $r_1$ и $r_2$, где $r_1 = 2$ см (радиус меньшего основания) и $r_2 = 4$ см (радиус большего основания). Высоту усеченного конуса обозначим через $H$.

По условию задачи, через середину высоты проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Такое сечение всегда является кругом. Чтобы найти площадь этого круга, нам необходимо определить его радиус, который мы обозначим как $r_с$.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию, у которой основания равны диаметрам оснований конуса ($2r_1$ и $2r_2$), а высота равна высоте конуса $H$. Радиус искомого сечения $r_с$ в этой трапеции будет соответствовать отрезку, параллельному основаниям трапеции и делящему её высоту пополам. Такой отрезок является средней линией трапеции, образованной радиусами $r_1$, $r_2$, высотой $H$ и образующей конуса.

Длина средней линии трапеции вычисляется как полусумма длин её параллельных оснований. В нашем случае основаниями соответствующей прямоугольной трапеции (половины осевого сечения) являются радиусы $r_1$ и $r_2$. Таким образом, радиус сечения $r_с$ можно найти по формуле:

$r_с = \frac{r_1 + r_2}{2}$

Подставим заданные значения радиусов в формулу:

$r_с = \frac{2 \text{ см} + 4 \text{ см}}{2} = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}$

Теперь, зная радиус сечения, мы можем вычислить его площадь $S_с$. Площадь круга находится по формуле $S = \pi r^2$.

$S_с = \pi \cdot (r_с)^2 = \pi \cdot (3 \text{ см})^2 = 9\pi \text{ см}^2$

Ответ: $9\pi \text{ см}^2$.