Номер 8.15, страница 57 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.15 Какая фигура получится при вращении правильной четырех-угольной усеченной пирамиды вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований (рис. 8.8)?

$A_1, B_1, C_1, D_1, A, B, C, D, a$

Рис. 8.8

Фигура, которая образуется при вращении пространственного тела вокруг оси, называется телом вращения. Чтобы определить форму этого тела, достаточно рассмотреть плоскую фигуру, являющуюся сечением исходного тела плоскостью, проходящей через ось вращения, и повернуть эту плоскую фигуру вокруг оси.

В данном случае исходное тело — это правильная четырехугольная усеченная пирамида. Ее основаниями являются два квадрата, лежащие в параллельных плоскостях. Ось вращения — это прямая, проходящая через центры этих квадратов. Эта прямая также является осью симметрии пирамиды.

Рассмотрим сечение усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через ось вращения. Так как тело вращения будет ограничено поверхностью, образованной вращением наиболее удаленных от оси точек исходного тела, следует рассмотреть сечение, проходящее через противоположные вершины оснований, то есть через диагонали. Такое сечение представляет собой равнобокую трапецию. Основаниями этой трапеции служат диагонали квадратов-оснований пирамиды, а боковыми сторонами — боковые ребра пирамиды. Ось вращения пирамиды является осью симметрии для этой трапеции.

При вращении равнобокой трапеции вокруг ее оси симметрии образуется усеченный конус. Основания пирамиды (квадраты) при вращении образуют круги, которые являются основаниями усеченного конуса. Боковая поверхность усеченной пирамиды при вращении образует боковую поверхность усеченного конуса. Высота полученного конуса равна высоте исходной усеченной пирамиды.

Ответ: усеченный конус.