Номер 8.21, страница 57 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.21. Найдите радиусы оснований усеченного конуса, разверткой боковой поверхности которого является половина кругового кольца, изображенного на рисунке 8.12, радиусы окружностей которого равны 1 см и 2 см.

Рис. 8.12

Разверткой боковой поверхности усеченного конуса является сектор кругового кольца. По условию задачи, эта развертка представляет собой половину кругового кольца. Это означает, что центральный угол сектора равен $180^\circ$ или $\pi$ радиан.

Радиусы окружностей, которые образуют это круговое кольцо, даны: больший радиус $R_1 = 2$ см и меньший радиус $R_2 = 1$ см. Эти радиусы развертки являются образующими полного конуса (из которого "вырезали" усеченный) и отсеченной верхней части соответственно.

Длины дуг сектора кругового кольца равны длинам окружностей оснований усеченного конуса. Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы большего и меньшего оснований усеченного конуса.

Длина большей дуги развертки ($L_1$) соответствует длине окружности большего основания конуса. Эта дуга является частью окружности с радиусом $R_1 = 2$ см. Так как сектор составляет половину круга, длина дуги равна:$L_1 = \frac{1}{2} \cdot 2\pi R_1 = \pi R_1 = \pi \cdot 2 = 2\pi$ см.

Длина окружности большего основания конуса равна $2\pi r_1$. Приравнивая ее к длине дуги $L_1$, получаем:$2\pi r_1 = 2\pi$$r_1 = 1$ см.

Аналогично, длина меньшей дуги развертки ($L_2$) соответствует длине окружности меньшего основания конуса. Эта дуга является частью окружности с радиусом $R_2 = 1$ см. Ее длина равна:$L_2 = \frac{1}{2} \cdot 2\pi R_2 = \pi R_2 = \pi \cdot 1 = \pi$ см.

Длина окружности меньшего основания конуса равна $2\pi r_2$. Приравнивая ее к длине дуги $L_2$, получаем:$2\pi r_2 = \pi$$r_2 = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2} = 0,5$ см.

Ответ: радиусы оснований усеченного конуса равны 0,5 см и 1 см.