Задания, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

По аналогии с рассмотренными случаями расположения сферы и плоскости самостоятельно рассмотрите случаи взаимного расположения сферы и прямой.

Взаимное расположение сферы и прямой в пространстве определяется соотношением между радиусом сферы $R$ и расстоянием $d$ от центра сферы до этой прямой. Пусть центр сферы находится в точке $O$. Расстояние $d$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую. Существует три возможных случая их взаимного расположения.

1. Прямая пересекает сферу в двух точках

Этот случай реализуется, когда расстояние от центра сферы до прямой меньше радиуса сферы, то есть выполняется условие $d < R$. Прямая, имеющая со сферой две общие точки, называется секущей. Эти две точки пересечения лежат на сфере и на прямой. Если рассмотреть плоскость, содержащую центр сферы и данную прямую, то в сечении получится окружность радиуса $R$ и прямая, пересекающая ее в двух точках, так как расстояние от центра окружности до прямой меньше ее радиуса.

Ответ: если $d < R$, прямая и сфера имеют две общие точки.

2. Прямая касается сферы в одной точке

Этот случай имеет место, когда расстояние от центра сферы до прямой равно ее радиусу: $d = R$. Прямая, имеющая со сферой ровно одну общую точку, называется касательной к сфере, а их общая точка — точкой касания. Точка касания является основанием перпендикуляра, опущенного из центра сферы на прямую. Любая касательная к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Ответ: если $d = R$, прямая и сфера имеют одну общую точку (касаются).

3. Прямая и сфера не имеют общих точек

Этот случай возникает, когда расстояние от центра сферы до прямой больше радиуса сферы: $d > R$. Поскольку $d$ — это кратчайшее расстояние от центра сферы до точек прямой, то любая точка прямой удалена от центра на расстояние, превышающее радиус. Следовательно, ни одна точка прямой не может принадлежать сфере.

Ответ: если $d > R$, прямая и сфера не имеют общих точек.