Номер 8.25, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.25. Повторите определения окружности, круга и их элементов, определение касательной прямой к окружности и случаи взаимного расположения окружности и прямой.

Определения окружности, круга и их элементов

Окружность — это геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от одной заданной точки, называемой центром.

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая в себя саму окружность. Иными словами, это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра не превышает радиуса.

К основным элементам окружности и круга относятся:
- Центр — точка, от которой равноудалены все точки окружности.
- Радиус ($r$) — отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности. Также этим термином обозначают длину этого отрезка.
- Хорда — отрезок, соединяющий две любые точки на окружности.
- Диаметр ($d$) — хорда, проходящая через центр окружности. Длина диаметра равна двум радиусам: $d = 2r$.
- Дуга — любая из двух частей, на которые окружность делится двумя ее точками.
- Сектор — часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
- Сегмент — часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Ответ: Окружность – множество точек, равноудаленных от центра; круг – часть плоскости, ограниченная окружностью. Элементы: центр, радиус, диаметр, хорда, дуга, сектор, сегмент.

Определение касательной прямой к окружности

Касательная к окружности — это прямая, лежащая в одной плоскости с окружностью и имеющая с ней только одну общую точку. Эта точка называется точкой касания.

Основное свойство касательной: Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Признак касательной: Если прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Ответ: Касательная — это прямая, имеющая с окружностью одну общую точку; она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Случаи взаимного расположения окружности и прямой

Взаимное расположение окружности радиуса $r$ и прямой зависит от расстояния $d$ от центра окружности до этой прямой. Существует три возможных случая:

1. Прямая и окружность пересекаются в двух точках.
Это происходит, когда расстояние от центра до прямой меньше радиуса окружности. Такая прямая называется секущей.
Условие: $d < r$.

2. Прямая и окружность имеют одну общую точку.
Это происходит, когда расстояние от центра до прямой равно радиусу окружности. Такая прямая является касательной.
Условие: $d = r$.

3. Прямая и окружность не имеют общих точек.
Это происходит, когда расстояние от центра до прямой больше радиуса окружности.
Условие: $d > r$.

Ответ: Существует три случая взаимного расположения прямой и окружности, которые определяются соотношением между радиусом $r$ и расстоянием $d$ от центра до прямой: прямая пересекает окружность ($d < r$), касается окружности ($d = r$) или не имеет с ней общих точек ($d > r$).