Номер 8.24, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.24. Какие размеры имеет развертка боковой поверхности ведра, если диаметры его оснований 28 см и 20 см, а высота 24 см? Сколько квадратных дециметров материала нужно затратить на изготовление этого ведра (без учета расхода на швы)?

Какие размеры имеет развертка боковой поверхности ведра

Ведро представляет собой усеченный конус. Его развертка боковой поверхности является сектором кольца. Для определения размеров этой развертки нам нужно найти ее радиусы и длину дуг.

Исходные данные:
Диаметр большего основания: $D = 28$ см, следовательно, радиус $R = D/2 = 14$ см.
Диаметр меньшего основания: $d = 20$ см, следовательно, радиус $r = d/2 = 10$ см.
Высота ведра: $h = 24$ см.

1. Найдем образующую $l$ усеченного конуса (ширину сектора кольца). Она является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого служат высота $h$ и разность радиусов $R-r$. По теореме Пифагора:
$l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2} = \sqrt{24^2 + (14-10)^2} = \sqrt{576 + 4^2} = \sqrt{576 + 16} = \sqrt{592}$ см.
Упростим корень: $\sqrt{592} = \sqrt{16 \cdot 37} = 4\sqrt{37}$ см.
Приближенное значение: $l \approx 4 \cdot 6.083 \approx 24.33$ см.

2. Развертка представляет собой часть кольца, ограниченного дугами двух окружностей. Найдем радиусы этих окружностей ($L_{больший}$ и $L_{меньший}$). Они являются образующими полного конуса, из которого получен усеченный, и малого конуса, который был отсечен.
Используем подобие треугольников в осевом сечении конуса:
$\frac{L_{меньший}}{r} = \frac{L_{больший}}{R} = \frac{l}{R-r}$
$L_{больший} = \frac{l \cdot R}{R-r} = \frac{4\sqrt{37} \cdot 14}{14-10} = \frac{4\sqrt{37} \cdot 14}{4} = 14\sqrt{37}$ см.
$L_{меньший} = \frac{l \cdot r}{R-r} = \frac{4\sqrt{37} \cdot 10}{14-10} = \frac{4\sqrt{37} \cdot 10}{4} = 10\sqrt{37}$ см.

3. Длины дуг развертки равны длинам окружностей оснований ведра:
Длина большей дуги: $C_{большая} = 2\pi R = 2\pi \cdot 14 = 28\pi$ см.
Длина меньшей дуги: $C_{меньшая} = 2\pi r = 2\pi \cdot 10 = 20\pi$ см.

Ответ: Развертка боковой поверхности представляет собой сектор кольца с внешним радиусом $14\sqrt{37}$ см, внутренним радиусом $10\sqrt{37}$ см и шириной (образующей) $4\sqrt{37}$ см. Длины дуг, ограничивающих сектор, равны $28\pi$ см и $20\pi$ см.

Сколько квадратных дециметров материала нужно затратить на изготовление этого ведра

Общее количество материала — это сумма площади боковой поверхности ведра и площади его дна (меньшего основания).

1. Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) усеченного конуса вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \pi(R+r)l$
$S_{бок} = \pi(14+10)(4\sqrt{37}) = \pi \cdot 24 \cdot 4\sqrt{37} = 96\pi\sqrt{37}$ см².

2. Площадь дна ($S_{дна}$) — это площадь круга с радиусом $r = 10$ см:
$S_{дна} = \pi r^2 = \pi \cdot 10^2 = 100\pi$ см².

3. Общая площадь материала ($S_{общ}$):
$S_{общ} = S_{бок} + S_{дна} = 96\pi\sqrt{37} + 100\pi = \pi(96\sqrt{37} + 100)$ см².

4. Вычислим приближенное значение и переведем в квадратные дециметры (1 дм² = 100 см²). Используем $\pi \approx 3.1416$ и $\sqrt{37} \approx 6.0828$:
$S_{общ} \approx 3.1416 \cdot (96 \cdot 6.0828 + 100) = 3.1416 \cdot (583.9488 + 100) = 3.1416 \cdot 683.9488 \approx 2148.7$ см².
Переведем в квадратные дециметры:
$S_{общ} = \frac{2148.7}{100} \approx 21.49$ дм².

Ответ: На изготовление ведра нужно затратить примерно 21.49 дм² материала.