Вопрос?, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Какая фигура получается в сечении шара плоскостью?

Сечением шара плоскостью является круг. Чтобы это доказать, рассмотрим шар с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть секущая плоскость $\alpha$ пересекает этот шар. Расстояние от центра шара $O$ до плоскости $\alpha$ обозначим как $d$.

Опустим перпендикуляр из центра шара $O$ на плоскость $\alpha$. Точку, в которой перпендикуляр пересекает плоскость, назовем $O'$. Эта точка будет центром фигуры, получающейся в сечении.

Возьмем любую точку $M$, которая принадлежит сечению. Эта точка одновременно лежит и на поверхности шара, и в плоскости $\alpha$. Так как точка $M$ лежит на поверхности шара, расстояние от нее до центра шара $O$ равно радиусу шара: $OM = R$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OO'M$. Этот треугольник является прямоугольным, поскольку отрезок $OO'$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O'$, включая прямую $O'M$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle OO'M$ имеем: $OM^2 = OO'^2 + O'M^2$.

Подставим известные нам величины: $R^2 = d^2 + O'M^2$.

Отсюда мы можем найти квадрат расстояния от центра сечения $O'$ до точки $M$ на его границе: $O'M^2 = R^2 - d^2$. Следовательно, радиус сечения, который мы обозначим как $r$, равен $r = O'M = \sqrt{R^2 - d^2}$.

Так как для данного шара и данной плоскости величины $R$ и $d$ постоянны, то и радиус $r$ сечения тоже является постоянной величиной. Это означает, что все точки сечения $M$ равноудалены от центра сечения $O'$. По определению, геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от данной точки, есть окружность. Фигура, ограниченная этой окружностью, является кругом.

Можно выделить несколько частных случаев:

1. Если секущая плоскость проходит через центр шара, то расстояние $d=0$. В этом случае радиус сечения $r = \sqrt{R^2 - 0^2} = R$. Такой круг называется большим кругом шара, и его радиус равен радиусу самого шара.

2. Если расстояние от центра шара до плоскости равно радиусу шара, то есть $d=R$, то плоскость касается шара в одной точке. Радиус сечения в этом случае $r = \sqrt{R^2 - R^2} = 0$. Сечением является одна точка.

3. Если расстояние от центра шара до плоскости больше радиуса ($d>R$), то плоскость и шар не имеют общих точек, и сечение не существует.

Ответ: В сечении шара плоскостью получается круг. В частном случае, когда плоскость касается шара, сечением является точка.