Страница 61 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

По аналогии с рассмотренными случаями расположения сферы и плоскости самостоятельно рассмотрите случаи взаимного расположения сферы и прямой.

Взаимное расположение сферы и прямой в пространстве определяется соотношением между радиусом сферы $R$ и расстоянием $d$ от центра сферы до этой прямой. Пусть центр сферы находится в точке $O$. Расстояние $d$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую. Существует три возможных случая их взаимного расположения.

1. Прямая пересекает сферу в двух точках

Этот случай реализуется, когда расстояние от центра сферы до прямой меньше радиуса сферы, то есть выполняется условие $d < R$. Прямая, имеющая со сферой две общие точки, называется секущей. Эти две точки пересечения лежат на сфере и на прямой. Если рассмотреть плоскость, содержащую центр сферы и данную прямую, то в сечении получится окружность радиуса $R$ и прямая, пересекающая ее в двух точках, так как расстояние от центра окружности до прямой меньше ее радиуса.

Ответ: если $d < R$, прямая и сфера имеют две общие точки.

2. Прямая касается сферы в одной точке

Этот случай имеет место, когда расстояние от центра сферы до прямой равно ее радиусу: $d = R$. Прямая, имеющая со сферой ровно одну общую точку, называется касательной к сфере, а их общая точка — точкой касания. Точка касания является основанием перпендикуляра, опущенного из центра сферы на прямую. Любая касательная к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Ответ: если $d = R$, прямая и сфера имеют одну общую точку (касаются).

3. Прямая и сфера не имеют общих точек

Этот случай возникает, когда расстояние от центра сферы до прямой больше радиуса сферы: $d > R$. Поскольку $d$ — это кратчайшее расстояние от центра сферы до точек прямой, то любая точка прямой удалена от центра на расстояние, превышающее радиус. Следовательно, ни одна точка прямой не может принадлежать сфере.

Ответ: если $d > R$, прямая и сфера не имеют общих точек.

Какая фигура получается в сечении шара плоскостью?

Сечением шара плоскостью является круг. Чтобы это доказать, рассмотрим шар с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть секущая плоскость $\alpha$ пересекает этот шар. Расстояние от центра шара $O$ до плоскости $\alpha$ обозначим как $d$.

Опустим перпендикуляр из центра шара $O$ на плоскость $\alpha$. Точку, в которой перпендикуляр пересекает плоскость, назовем $O'$. Эта точка будет центром фигуры, получающейся в сечении.

Возьмем любую точку $M$, которая принадлежит сечению. Эта точка одновременно лежит и на поверхности шара, и в плоскости $\alpha$. Так как точка $M$ лежит на поверхности шара, расстояние от нее до центра шара $O$ равно радиусу шара: $OM = R$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OO'M$. Этот треугольник является прямоугольным, поскольку отрезок $OO'$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O'$, включая прямую $O'M$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle OO'M$ имеем: $OM^2 = OO'^2 + O'M^2$.

Подставим известные нам величины: $R^2 = d^2 + O'M^2$.

Отсюда мы можем найти квадрат расстояния от центра сечения $O'$ до точки $M$ на его границе: $O'M^2 = R^2 - d^2$. Следовательно, радиус сечения, который мы обозначим как $r$, равен $r = O'M = \sqrt{R^2 - d^2}$.

Так как для данного шара и данной плоскости величины $R$ и $d$ постоянны, то и радиус $r$ сечения тоже является постоянной величиной. Это означает, что все точки сечения $M$ равноудалены от центра сечения $O'$. По определению, геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от данной точки, есть окружность. Фигура, ограниченная этой окружностью, является кругом.

Можно выделить несколько частных случаев:

1. Если секущая плоскость проходит через центр шара, то расстояние $d=0$. В этом случае радиус сечения $r = \sqrt{R^2 - 0^2} = R$. Такой круг называется большим кругом шара, и его радиус равен радиусу самого шара.

2. Если расстояние от центра шара до плоскости равно радиусу шара, то есть $d=R$, то плоскость касается шара в одной точке. Радиус сечения в этом случае $r = \sqrt{R^2 - R^2} = 0$. Сечением является одна точка.

3. Если расстояние от центра шара до плоскости больше радиуса ($d>R$), то плоскость и шар не имеют общих точек, и сечение не существует.

Ответ: В сечении шара плоскостью получается круг. В частном случае, когда плоскость касается шара, сечением является точка.

Вопросы

1. Какая фигура называется сферой?

2. Что называется радиусом сферы?

3. Что называется хордой сферы?

4. Что называется диаметром сферы?

5. Вращением какой фигуры можно получить сферу?

6. Какая фигура называется шаром?

7. Что называется радиусом шара?

8. Что называется хордой шара?

9. Что называется диаметром шара?

10. Вращением какой фигуры можно получить шар?

11. Что называется поверхностью шара?

12. В каком случае сфера и плоскость не имеют общих точек?

13. В каком случае сфера и плоскость имеют одну общую точку?

14. В каком случае сфера и плоскость пересекаются по окружности?

15. Какая плоскость называется касательной плоскостью к сфере?

16. Какая прямая называется касательной прямой к сфере?

1. Какая фигура называется сферой? Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, которые находятся на одинаковом заданном расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром сферы, а заданное расстояние — радиусом сферы. Ответ:

2. Что называется радиусом сферы? Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с любой точкой на ее поверхности. Также радиусом называют длину этого отрезка, которую обычно обозначают буквой $R$. Ответ:

3. Что называется хордой сферы? Хордой сферы называется любой отрезок, который соединяет две точки на ее поверхности. Ответ:

4. Что называется диаметром сферы? Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр. Длина диаметра $d$ равна удвоенному радиусу: $d = 2R$. Ответ:

5. Вращением какой фигуры можно получить сферу? Сферу можно получить в результате вращения полуокружности вокруг ее диаметра. Также сферу можно получить при вращении окружности вокруг ее диаметра. Ответ:

6. Какая фигура называется шаром? Шаром называется пространственное тело, ограниченное сферой. Шар содержит все точки пространства, которые находятся на расстоянии, не превышающем радиус, от его центра. Ответ:

7. Что называется радиусом шара? Радиусом шара называется радиус сферы, которая его ограничивает. Это отрезок, соединяющий центр шара с любой точкой на его поверхности. Ответ:

8. Что называется хордой шара? Хордой шара называется отрезок, соединяющий две любые точки на его поверхности (сфере). Ответ:

9. Что называется диаметром шара? Диаметром шара называется хорда, которая проходит через его центр. Диаметр шара является также и диаметром его ограничивающей сферы. Ответ:

10. Вращением какой фигуры можно получить шар? Шар можно получить в результате вращения полукруга вокруг его диаметра. Также шар можно получить при вращении круга вокруг его диаметра. Ответ:

11. Что называется поверхностью шара? Поверхностью шара является сфера, которая его ограничивает. Ответ:

12. В каком случае сфера и плоскость не имеют общих точек? Сфера и плоскость не имеют общих точек, если расстояние от центра сферы до плоскости, обозначим его $d$, больше радиуса сферы $R$. То есть, при выполнении условия $d > R$. Ответ:

13. В каком случае сфера и плоскость имеют одну общую точку? Сфера и плоскость имеют одну общую точку (касаются), если расстояние $d$ от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы $R$. То есть, когда $d = R$. Эта общая точка называется точкой касания. Ответ:

14. В каком случае сфера и плоскость пересекаются по окружности? Сфера и плоскость пересекаются по окружности, если расстояние $d$ от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы $R$. То есть, при выполнении условия $d < R$. Радиус окружности в сечении, обозначим его $r$, можно вычислить по теореме Пифагора: $r = \sqrt{R^2 - d^2}$. Ответ:

15. Какая плоскость называется касательной плоскостью к сфере? Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере. Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Ответ:

16. Какая прямая называется касательной прямой к сфере? Прямая, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной прямой к сфере. Касательная прямая лежит в касательной плоскости к сфере и проходит через точку касания. Ответ: